2020高考数学大一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导数导数的计算课件理

第1讲变化率与导数、导数的计算第三章导数及其应用1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_________________________＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝_________________________．limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）ΔxlimΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的__________________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为_____________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝________________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝____0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝___________________．(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________．(3)f（x）g（x）′＝________________________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]24．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________，即y对x的导数等于________的导数与______的导数的乘积．yu′·ux′y对uu对x导师提醒1．注意两种区别(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.(2)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．关注两个易错点(1)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．3．记住两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(教材习题改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()解析：选B.由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s＝t2＋3t，所以s′＝2t－3t2，所以s′|t＝2＝4－34＝134.答案：134若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．答案：(－ln2，2)角度一根据求导法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sinx2(1－2cos2x4)；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝ln2x－12x＋1.导数的计算(多维探究)【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)因为y＝sinx2(－cosx2)＝－12sinx，所以y′＝(－12sinx)′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝（lnx）′（x2＋1）－lnx（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2xlnx（x2＋1）2＝x2＋1－2x2lnxx（x2＋1）2.(5)y′＝(ln2x－12x＋1)′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝12x－1·(2x－1)′－12x＋1·(2x＋1)′＝22x－1－22x＋1＝44x2－1.角度二抽象函数的导数计算已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－94导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．1．已知f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选B.因为f(x)＝x(2017＋lnx)，所以f′(x)＝2017＋lnx＋1＝2018＋lnx，又f′(x0)＝2018，所以2018＋lnx0＝2018，所以x0＝1.2．(2019·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A.12－8ln21－2ln2B.21－2ln2C.41－2ln2D.－2解析：选C.因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝21－2ln2，所以f′(x)＝21－2ln2·2xln2＋2x，所以f′(2)＝21－2ln2×22ln2＋2×2＝41－2ln2.3．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝（cosx）′ex－cosx（ex）′（ex）2＝－sinx＋cosxex.角度一求切线方程(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．导数的几何意义(多维探究)【解析】因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.【答案】y＝3x角度二求切点坐标(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．【解析】设A(x0，lnx0)，又y′＝1x，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－lnx0＝1x0(－e－x0)，化简得lnx0＝ex0，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．【答案】(e，1)角度三求参数(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1(2)(2019·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为________．【解析】(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.(2)设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝lnx－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得x0－y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝1f（x0）＝lnx0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.【答案】(1)D(2)1e2－1角度四公切线问题已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．【解析】令f(x)＝x＋lnx，求导得f′(x)＝1＋1x，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，所以a＝0或x0＝－12，又ax20＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax20＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，所以x0＝－12，此时a＝8.【答案】8角度五导数与函数的图象(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．【解析】(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x10x2x3，由导函数图象可知，y＝f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从