选修4-4-平面直角坐标系

复习平面直角坐标系基本结论:1、两点间的距离公式:2、中点坐标公式3、点到直线距离公式4、直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).信息中心观测点观测点观测点PBACyxOyxBACPo以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)设P（x,y）为巨响为生点，故|PA|－|PB|=340×4=1360由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，yxBACPoa=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.)0(134056802222xyx所以双曲线的方程为：用y=－x代入上式，得,5680,5680yx10680),5680,5680(POP故即答:巨响发生在信息中心的西偏北450,距中心m1068012222byax由双曲线定义P点在以A,B为焦点的双曲线上例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为ABCFE所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，CFBE因为CFBE所以因此，BE与CF互相垂直.(A)FBCEOyxABCFE例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。还可怎么建立直角坐标系?ABCFEOxy分析:以AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系设A(m,0),B(n,0),C(0,p)求出CF、BE的斜率即可坐标法(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；MNPOXy2例2圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，O1O2则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0)，O2(2,0)，设P(x,y)MNPOXy1)2(22yx1)2(22yx则PM2=PO12-MO12=同理，PN2=1)2(22yx]1)2[(222yx,031222yxx,33)6(22yxO1O2OACxy练习：CA、CO为半径为1的圆C上互相垂直的两条半径，A、O为定点，P是以O为端点的动弦的中点，求A、P间的最短距离P分析:以O为原点，OC所在直线为x轴建立坐标系D小结：求轨迹方程的常用方法1、直接法2、定义法3、相关点法4、参数法思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO2y上述变换实质上就是一个坐标的y=sinxy=sin2x思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO2yy=sinxy=sin2x①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个.即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的½，得到点P'(x',y′)坐标对应关系为：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。xO2y上述变换实质上就是一个y=sinxy=3sinx思考：即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'(x',y′)坐标对应关系为：②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个.xO2yy=sinxy=3sinx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?xyO在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.思考：y=3sin2xy=sinx怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?xyO思考：y=3sin2xy=sinx即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P'(x',y')，坐标对应关系为:③把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个.设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义:称为平面直角坐标系中的伸缩变换,简称伸缩变换.的作用下，点P(x,y)对应到P'(x',y')定义:上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩.⑶在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。⑵把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；0,0⑴注意：例1在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:后的图形。yyxx32(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1yyxx3121yyxx32解：(1)由伸缩变换得到代入2x+3y=0;0yx得到经过伸缩变换后的图形的方程是19422yx得到经过伸缩变换后的图形的方程是yyxx3121(2)将代入x2+y2=1，为原来2倍，纵坐标伸长为3倍即得后者图像.)0(,)0(,yyxx：在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可以变成圆,抛物线仍为抛物线，双曲线仍为抛物线小结：