2012届高三数学第一轮复习导数与函数的极值[1]

导数与函数的极值x0x0知识梳理函数的极值(1)函数极值的定义①已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作______________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；②如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作____________，并把x0称为函数f(x)的一个____________；③极大值与极小值统称________，极大值点与极小值点统称为________．极大值y极大值＝f(x0)极大值点极小值y极小值＝f(x0)极小值点极值极值点xoaby要点探究►探究点2导数与函数极值的关系例2f(x)的定义域为开区间(a，b)，函数f(x)在(a，b)内的图象如图15－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个BxX2oaX3bx1y图15—11f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个A由导数确定极值：极小值：极大值：左负右正左正右负yfx6x5x4x3x2x1xabxy（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx答：'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。导数等于零的点一定是极值点吗？（2）函数极值的求法);()1(xf求导数①;0)(0)()2(的根，求出方程令xfxf②.)4(求极值④;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf③根的►探究点1利用导数求函数的极值例1求下列函数的极值与最值:;27)()1(3xxxf解:3)-3)(x3(x273)()1(2xxf解得.3,321xx极大值极小值所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.0)(xf令330)(xxxf或得由330)(xxf得由列表得)(xfx)(xf33)3,()3,3(),3(–++00求函数f(x)＝lnxx的极值与最值．[解答]函数fx＝lnxx的定义域为0，＋∞，f′x＝1－1nxx2.令f′x＝0，得x＝e.由f′x0得：0xe;由f′x0得：xe列表得：故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝1e.+-(0,e)(e,+∞)极大值3221()31(0)3(1)fxxaxaxa、设函数求f(x)的表达式（2）求函数的单调区间、极大值与极小值►探究点3利用极值求参数例3若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b的值，并求函数的单调减区间．[思路]根据极值的含义，利用0)1(10)1(ff，解方程组得a，b的值，并注意验证．[解答]由导数公式表和求导法则得，f′x＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即a2＋a＋b＝9，2a＋b＝－3，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，但由于当a＝－3，b＝3，时，f′x＝3x2－6x＋=3(x-1)2≥0，故fx在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3，b＝3不合题意，舍去；而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.3224()2338120,3,()fxxaxbxcxxabxfxcc例．设函数在及时取得极值。(1)求、的值。（2）若对于任意的都有成立，求的取值范围。规律总结1．极值也是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数研究函数的极值时，一般也应首先考虑函数的定义域，然后求函数的导数，得到导数为零的点，这些点将整个定义域分为若干个区间，然后将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值，所以在解题中注意表格的正确列法．2．根据极值的定义，导数为0的点只是可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点，因此，在函数可导的条件下，导数为0的点是函数在该点取得极值的必要条件．