2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第16讲 导数的综合应用

12．掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等．．掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法．()()()()2)113(其解题的程序：读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答注意事项：函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；在函数定义域．利用导数解决生活中的优化问内只有一个极值，则该极值就是题可归结为求函数的最值问题所求的最大小值．12——————32求参数的取值范围．多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不．近几年高等关系．用导数方法证明不等式．其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论．与几何图形相关的最值问题．根据几何知识建考中和导立函数关数有关的综合题主要有以系，然后用导数方法下几类求最值．1.已知函数f(x)＝x3－3x＋1，若方程f(x)＝a有三个不同的实数根，则a的范围是(－1,3).【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，所以当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)0.当x∈(－1,1)时，f′(x)0，当x＝－1时，f(x)有极大值为f(－1)＝3；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－1，所以f(x)＝a有三个不同实根，则－1a3，故a的取值范围是(－1,3)．2.已知a＝x，b＝lnx，c＝ex，其中x0，则a，b，c的大小关系是(从小到大)bac.【解析】令f(x)＝x－lnx，则f′(x)＝1－1x＝x－1x＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取最小值，f(1)＝1，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－lnx≥f(1)＝10，所以xlnx.又令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－10(x0)，所以x∈(0，＋∞)时，g(x)g(0)＝10，所以exx，故exxlnx，即bac.3.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·60－x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长是()A．30B．40C．50D．其他【解析】V(x)＝－12x3＋30x2，V′(x)＝－32x2＋60x＝－32(x2－40x)＝－32x(x－40)(0x60)．由V′(x)＝0，得x＝40.而当0x40时，V′(x)0；当40x60时，V′(x)0，所以V(x)max＝V(40)＝16000，所以当x＝40时，V(x)取最大值．故选B.4.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(吨/元)之间的函数关系为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元，则该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是315万元．【解析】设生产x吨产品，利润为y元，则y＝Px－R＝(24200－15x2)·x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000.令y′＝－35x2＋24000＝0，得x＝200.所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润是315万元．5.设矩形ABCD的A、B两点在y＝sinx(0xπ)的图象上，C、D两点在x轴上，且D(x0,0)(0x0π2)，欲使矩形面积最大，则x0的取值范围是()A．(0，π6)B．(π6，π4)C．(π4，π3)D．(π3，π2)【解析】因为D(x0,0)，又ABCD为矩形，由对称性可知C(π－x0,0)，A(x0，sinx0)，所以|CD|＝π－2x0，|AD|＝sinx0，所以矩形的面积S(x0)＝(π－2x0)sinx0(0x0π2)，则S′(x0)＝πcosx0－2sinx0－2x0cosx0＝－2sinx0＋(π－2x0)cosx0.由S′(π6)＝－2sinπ6＋2π3·cosπ6＝－1＋3π30，S′(π4)＝－2sinπ4＋π2·cosπ4＝－2＋π240.可知S′(x0)＝0在(π6，π4)有根，即为其最大值点，故选B.一利用导数解决不等式问题【例1】证明：当x0时，ln(1＋x)2xx＋2.【证明】设f(x)＝ln(x＋1)－2xx＋2(x0)，所以f′(x)＝1x＋1－4x＋22＝x2x＋1x＋22.又x0，所以f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)f(0)＝0，即ln(x＋1)2xx＋2(x0)．【点评】有关“超越型不等式”的证明，构造函数，应用导数是常用证明方法．(1)方程xlnx－2＝0的根的个数是1；(2)当x0时，不等式xlnx－a0恒成立，则a的取值范围是(－∞，－1e).素材1【解析】(1)令f(x)＝xlnx(x0)，则f′(x)＝lnx＋1.由f′(x)＝0，得x＝1e.当x∈(0，1e)时，f′(x)0；当x∈(1e，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(0，1e)上递减，在(1e，＋∞)上递增．所以当x＝1e时，f(x)有最小值f(1e)＝－1e.又当0x1时，f(x)0；当x足够大时，f(x)的值也足够大．故xlnx－2＝0有且只有一个根．(2)由(1)，axlnx恒成立，则a[xlnx]min，所以a－1e.二利润最大问题【例2】受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝5150x－ax2－lnx10，x2x－12∈[t，＋∞)，其中t为大于12的常数．当x＝10时，y＝9.2.(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．【解析】(1)因为当x＝10时，y＝9.2，即5150×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝1100，所以f(x)＝5150x－x2100－lnx10.因为x2x－12≥t且t12，所以6x≤12t2t－1.即投入x的取值范围是(6，12t2t－1]．(2)对f(x)求导，得f′(x)＝5150－x50－1x＝－x2－51x＋5050x＝－x－1x－5050x.令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．当x∈(6,50)时，f′(x)0，且f(x)在(6,50]上连续，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，f′(x)0，且f(x)在[50，＋∞)上连续．因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．所以x＝50为极大值点．当12t2t－1≥50，即t∈(12，2544]时，投入50万元改造时取得最大增加值；当612t2t－150，即t∈(2544，＋∞)时，投入12t2t－1万元改造时取得最大增加值．【点评】收益问题备受人们的关注，它与数学密不可分．本例注重知识迁移，通过问题的解决，培养运用导数的意识和能力．(1)已知某生产厂家年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件素材2(2)已知一家公司一年内共生产某品牌服装x千件全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－130x20x≤10108x－10003x2x10，而生产总成本为Q(x)万元，且Q(x)＝10＋2.7x，则该公司年生产这一品牌服装9千件时，获得的最大利润为48.6万元．【解析】(1)因为y′＝－x2＋81，由y′＝0，得x＝9(－9舍去)．当x∈(0,9)时，y′0；当x∈(9，＋∞)，y′0，所以当x＝9时，y有最大值，故选C.(2)设年利润为W(x)，则W(x)＝x·R(x)－Q(x)＝10.8x－130x3－10－2.7x0x≤10108－10003x－10－2.7xx10，当0x≤10时，W′(x)＝10.8－110x2－2.7＝－110x2＋8.1.由W′(x)＝0，得x＝9，且0x9时，W′(x)0；当9x≤10时，W′(x)0，所以当x＝9时，W(x)有最大值为W(9)＝48.6(万元)，当x10时，W(x)＝98－(10003x＋27x10)≤98－2×30＝38，当且仅当10003x＝27x10，即x＝1009时，w(x)取最大值38.又因为3848.6，综上可知，当x＝9时，W(x)max＝48.6.答：当年产量为9千件时，年利润最大为48.6万元．三成本最低问题【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0＜r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2(r3－20c－2)，0＜r＜2.由于c3，所以c－20.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m＞0，所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0＜m＜2即c92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤92时，当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费用最小时r＝320c－2.【点评】利用导数解决生活中的优化问题时，既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意根据实际意义确定其定义域，求得的结果一定要检验是否与实际相符．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？素材3【解析】(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油(1128000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5升．故当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油为17.5升．(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得：h(x)＝(1128000x3－380x＋8)·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，则h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(8