2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第1讲 集合

了解集合、空集与全集的含义，理解集合之间的包含与相等，交集、并集和补集的含义，会求两个集合的交集、并集与补集，能运用韦恩图和集合语言解决有关问题．12________________.3____________________.4________________________.5_______________________________1一般的，某些指定的对象集中在一起就构成了一个集合，集合中的每个对象叫这个集合的元素．元素与集合的关系有两种：①，②集合中元素的性质：③集合的表示法：④集合的分类．按元素个数可分　．集合为：⑤的有关概念_____.6AB两个集合与之间的关系：7常用数集的记法：2.集合的运算及运算性质【要点指南】①属于“∈”；②不属于“∉”；③确定性、互异性、无序性；④列举法、描述法、韦恩图法；⑤空集、有限集、无限集；⑥2n；⑦2n－1；⑧且；⑨{x|x∈A且x∈B}；⑩或；⑪{x|x∈A或x∈B}；⑫{x|x∈U且x∉A}1.{1}{0}A1B1C2D2babababbaaR设、，集合，＋，＝，，，则－＝．．　．－．－1111(1)2ba0ab0abab0ababa.由题知，否则无意义，所以＋＝，所以＝－，即＝－，所以＝－，＝，所以－＝－－析】＝【解集合互异性应易错点：用错误．2.(2011·杭州一模)若集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则A∩B为{x|1x2}.【解析】因为A＝{x|0x2}，B＝{x|x1}，所以A∩B＝{x|1x2}．{1}1.Mx|xNx|xpp在数轴上表示出＝，＝，可得【解析】3.已知M＝{x|x≤1}，N＝{x|xp}，若M∩N≠∅，则p应满足的条件是()A．p1B．p≥1C．p1D．p≤11,2,3{2,4}2,3.ABmABmI4.已知集合＝，＝，，＝，则＝　35.0,1,2,32UUAA若全集＝且＝，则集合的真子集共有　个．ð30,127,31AA依题意，由已知＝，则集合的真子集共有【】－析＝解个． AA集合的真子集不能是易点：本身．错一集合的运算及应用【例1】若集合A＝{x|x2－2x－80}，B＝{x|x－m0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求∁UB；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．【解析】(1)由x2－2x－80，得－2x4，所以A＝{x|－2x4}；当m＝3时，由x－m0，得x3，所以B＝{x|x3}．所以U＝A∪B＝{x|x4}，所以∁UB＝{x|3≤x4}．(2)因为A＝{x|－2x4}，B＝{x|xm}，又A∩B＝∅，所以m≤－2.(3)因为A＝{x|－2x4}，B＝{x|xm}．又A∩B＝A，即A⊆B，所以m≥4.【点评】(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解题的突破口．(2)解决集合问题，常用韦恩图或数轴直观地表示．(3)理解补集的意义：∁UA指在全集U中但不在集合A中的元素组成的集合．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}．(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；(2)若全集U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．素材1【解析】由x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，即A＝{1,2}．由x2－(a＋3)x＋3a＝0，得(x－3)(x－a)＝0，则x1＝3，x2＝a，从而3∈B，a∈B.(1)若A∪B＝{1,2,3}，则B⊆{1,2,3}．又3∈B，则a＝1或a＝2或a＝3.(2)A∩(∁UB)＝A，得A⊆∁UB，所以A∩B＝∅，则3∉A且a∉A，故a≠1且a≠2.故a的取值范围为{a∈R|a≠1且a≠2}．二集合语言与韦恩图及应用【例2】集合A＝{(x，y)|y＝a|x|}，B＝{(x，y)|y＝x＋a}，且集合C＝A∩B为单元素集合，求实数a的取值范围．【解析】由题意满足条件的实数a，使集合A，B表示的曲线只有一个共公点，即函数y＝a|x|与函数y＝x＋a的图象只有一个公共点，即a|x|＝x＋a只有一解．当a＝0时，方程只有一解为x＝0，满足题意；当a≠0时，|x|＝xa＋1，由图可知，1a≥1或1a≤－1，即|a|≤1，且a≠0.综上可得－1≤a≤1.【点评】集合作为工具经常渗透到其他数学知识中，解决此类问题的关键是将集合语言转化为熟悉的数学语言，再求解．(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()A．0B．1C．2D．3素材2【解析】(1)A∩B的元素个数即为圆x2＋y2＝1与直线y＝x的交点个数，易知直线y＝x与圆x2＋y2＝1相交，故有两个交点，所以A∩B的元素个数为2，故选C.(2)设全集U是实数集R，集合M＝{x|y＝log2(x2－4)}，N＝{y|y＝x2－2，－3≤x≤2}，则右图阴影部分所表示的集合是[－2,2].素材2【解析】(2)由于函数y＝log2(x2－4)的定义域是{x|x－2或x2}，则M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)．又y＝x2－2(－3≤x≤2)的值域为{y|－2≤y≤7}，则N＝[－2,7]．而阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝[－2,2]．【点评】集合语言的理解应结合一般元素与元素的属性思考，如集合M是函数y＝log2(x2－4)的定义域，而集合N是函数y＝x2－2(－3≤x≤2)的值域．三元素与集合、集合与集合之间的互相关系【例3】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A⊆B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．【解析】(1)因为A＝{－4,0}，若A⊆B，则必有A＝B.由方程根与系数关系2a＋1＝4a2－1＝0，解得a＝1.(2)若B⊆A，则①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)0，解得a－1；②当B为单元素集合时，Δ＝0，得a＝－1，此时B＝{0}⊆A；③当B＝A时，由(1)可知a＝1.综上可知，若B⊆A，则a≤－1或a＝1.【点评】(1)解决集合问题时，不能忽视∅对解题的影响．(2)在解含有参数的不等式(或方程)时，要注意参数对结论或解题过程的影响，从而进行分类讨论，分类时，必须做到“不重不漏”，且对每一类情况给出问题的解答．(1)满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是2个.(2)已知集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，且M∩N＝N，求实数a的值．素材3【解析】(1)由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，可知a1∈M，a2∈M，且a3∉M.又M⊆{a1，a2，a3，a4}，从而M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，共2个．(2)由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，所以M＝{2，－3}．N∩M＝N⇔N⊆M.(ⅰ)当a＝0时，N＝∅，此时N⊆M；(ⅱ)当a≠0时，N＝{1a}．由N⊆M得1a＝2或1a＝－3，即a＝12或a＝－13.故所求实数a的值为0或12或－13.四集合的创新与应用【例4】对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M△N＝(M－N)∪(N－M)，M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M△N＝____________.【解析】因为M＝[0，＋∞)，N＝[－3,3]．由M－N＝{x|x∈M且x∉N}，所以M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3,0)，所以M△N＝(M－N)∪(N－M)＝[－3,0)∪(3，＋∞)．【点评】本题属新概念理解及应用题，准确理解M－N，M△N是解决本题的关键．{()|}.1,23,4{1,31,42,32,4}1{1,22,2}_________________234__________ABabaAbBABABABABABABAB对于集合、，我们将，，记作例如：＝，＝，则＝，，，．已知＝，，则集合＝，＝；若有个元素，有个元素，则共含有个元素．素材412312341{()|}2{}{}(1,2,3)41,231242iABabaAbBAaaaBbbbbBaiAB由＝，，的含义可知．设＝，，，＝，，，，则在中与＝组合的元素均有个，故共有＝【解析】＝，＝个元素．2121212}2}A1B{1,1(1,1)}C{02}D[02]A(2010)1222IP{y|yxQ{y|xyPQISSISSISS集合＝＝，＝＋＝，则等于．．，－．，．，设为全集，，是的两个非空子集，且＝，则下面论断正确的是．＝萧山一中IUIð121221BCDIIIISSSSSS．．．Ið痧?备选例题1212121[0)[22][02].2()C.DIIIIPQPQSSISSISSIUUI因为＝，＋，＝－，，所以＝，，故选因为＝，所以＝＝【故析即选解＝】，痧痧1．理解集合语言、把握元素的特征是分析解决集合问题的前提．2．化简集合(具体化、一般化、特殊化)是求解集合问题的基本策略．3．注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍．4．数形结合、分类讨论、补集思想、转换化归是解集合问题能力的具体体现．232{0}{1}()A1B1C1D2AaBaaaABa设集合＝，，集合＝，－，－，且，则的值是　　．．－．．232{0}000101.A.AaaaaABaa由＝，及集合元素的互异性可知，所以，－＝，又得错－＝，即＝故选解：1a解出＝后，忽视了检验这两个值是否都满足元素的错误分析：互异性．23223{0}000101.1110,1{11,0}.1C.AaaaaABaaaaaaABABa由＝，及集合元素的互异性可知，所以，－，又，所以－＝，解得＝当＝－时，＝－＝，这与集合元素互异性矛盾，舍去．当＝时，＝，＝，－，满足综上＝，正故应选解：