2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第22讲 三角函数的性质

12[0,2]()()22x．了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等．．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等，理解正切函数在，内的单调性．1．基本三角函数的性质1sin____________()()22cos(0)()2__________()3ta2.sincosn____________3().yxyAxbyAxbAbAkxkkyxkkxkykbxZZZZZ函数和的最大值为，最小值为．对　的对称中心为①；对称轴为．的对称中心为，；对称轴为②．的对称称中心为③；性无对称轴．(0)(0)2kkk①，；【要点指南②】；③，1.使函数y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是()A．[0，π3]B．[π12，7π12]C．[π3，5π6]D．[5π6，π]【解析】根据复合函数的单调性，同增异减判断．由x∈[0，π]，则－11π6≤π6－2x≤π6，又y＝sinx在[－11π6，π6]上的减区间为[－3π2，－π2]，所以－3π2≤π6－2x≤－π2，所以π3≤x≤5π6，选C.2.函数y＝sin(x＋π3)cos(π6－x)的最大值，最小正周期是()A．1，πB.12，πC．1，π2D．1,2π【解析】原式＝sin2(x＋π3)＝1－cos2x＋2π32，其最大值为1，最小正周期为π.3.下列函数中周期为π且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin(x2＋π3)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝2sin(2x＋π6)D．y＝2sin(x2－π3)【解析】根据T＝2πω，容易得出选项B、C中的函数周期均为π，然后可利用求对称轴的表达式ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，将选项B、C中的函数依次代入求解验证即可得答案B符合题意．4.将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6，故选D.5.给出下列命题：①函数y＝sin|x|不是周期函数；②函数y＝tanx在定义域内为增函数；③函数y＝|cos2x＋12|的最小正周期为π2；④函数y＝4sin(2x＋π3)，x∈R的一个对称中心为(－π6，0)．其中正确命题的序号为①④.【解析】本题考查三角函数的图象与性质．①由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；②错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，但不单调；③错，由周期函数的定义f(x＋π2)＝|－cos2x＋12|≠f(x)，故π2不是函数的周期；④由于f(－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有①④是正确的．一三角函数的奇偶性与对称性【例1】(1)已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)为偶函数，求θ的值；(2)求f(x)＝sin(2x＋π3)的对称轴方程．【解析】(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则有sin(－x＋θ)＋3cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)，即sin(x＋θ)＋sin(x－θ)＝3cos(x＋θ)－3cos(x－θ)，所以2sinxcosθ＝－23sinxsinθ.因为该式对一切实数x都成立，所以tanθ＝－33，于是θ＝kπ－π6(k∈Z)．(2)由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，即为所求对称轴方程．【点评】对于奇偶函数的问题，一般都要根据定义列出等式，从而寻求解题途径，对于本题，列出的是含有x、θ的方程，并不能立即求出θ，解决这类问题的方法是边化简，边探究，边求解．函数y＝2cos(12x－π8)的图象的对称中心是(2kπ＋5π4，0)(k∈Z).素材1【解析】令2cos(12x－π8)＝0，得12x－π8＝kπ＋π2(k∈Z)，即x＝2kπ＋5π4(k∈Z)，所以函数y＝2cos(12x－π8)的图象的对称中心是(2kπ＋5π4，0)(k∈Z)．【点评】正弦型函数、余弦型函数图象的对称中心即为y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象与x轴的交点．二三角函数的值域与最值【例2】(1)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，x∈[0，π2]，求f(x)的值域；(2)求函数y＝sinxcosx＋cosx＋sinx的最大值和最小值．【解析】(1)f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，所以－12≤sin(2x＋π6)≤1，－1≤f(x)≤2，故f(x)的值域为y∈[－1,2]．(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋2sinxcosx，所以sinxcosx＝t2－12.又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，所以|t|≤2，所以y＝12(t2－1)＋t＝12(t＋1)2－1，当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝1＋222.【点评】(1)利用三角函数公式将所给式子转化为y＝Asin(ωx＋φ)的结构，再求其最值．(2)将求三角函数的最值，转化为求二次函数的最值，要注意换元后变量的取值范围．素材2函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，若1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．【解析】f(x)＝1－sin2x＋sinx＋a－1＝－sin2x＋sinx＋a＝－(sinx－12)2＋a＋14.由1≤f(x)≤174，得1≤－(sinx－12)2＋a＋14≤174，即a－4≤(sinx－12)2≤a－34，又[(sinx－12)2]max＝94，[(sinx－12)2]min＝0.要使1≤f(x)≤174恒成立，只需a－4≤0a－34≥94⇔3≤a≤4，所以a∈[3,4]为所求．三三角函数的单调性与周期性【例3】(1)求函数y＝12sin(π4－2x3)的最小正周期和单调区间；(2)函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A．(π2，3π2)B．(π，2π)C．(3π2，5π2)D．(2π，3π)【解析】(1)y＝12sin(π4－2x3)＝－12sin(2x3－π4)，由2kπ－π2≤2x3－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得3kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k∈Z)．又由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)．所以递减区间为[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)，递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8](k∈Z)．(2)y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.若y＝f(x)在某区间是增函数，只需在此区间内y′≥0即可，故应选B.【点评】(1)求三角函数的单调区间时，首先要看ω是否为正，若为负，则应先使用诱导公式化为正，然后再根据基本的三角函数求解．(2)导数作为一个新的工具，在解决函数单调性、最值等问题时有其独到之处．求函数y＝tan1－x2的递减区间．素材3【解析】y＝tan1－x2＝－tanx－12.由kπ－π2x－12kπ＋π2，解得(2k－1)π＋1x(2k＋1)π＋π2，所以递减区间为((2k－1)π＋1，(2k＋1)π＋1)(k∈Z)．【点评】复合函数的单调性符合“同增异减”的规律，求复合函数的单调区时，需要注意代换式(即内函数)的单调性．备选例题已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】方法1：由于f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，所以sinφcosωx－cosφsinωx＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，即2sinωxcosφ＝0对∀x∈R恒成立，所以cosφ＝0，又0≤φ≤π，所以φ＝π2.所以f(x)＝sin(ωx＋π2)＝cosωx.又f(x)的图象关于点M(3π4，0)对称，即f(3π4－x)＝－f(3π4＋x)，取x＝0，得f(3π4)＝0，即cos3ωπ4＝0.又ω0，所以3ωπ4＝kπ＋π2(k∈Z)，当k＝0时，ω＝23，f(x)＝cos2x3在[0，π2]上是减函数；当k＝1时，ω＝2，f(x)＝cos2x在[0，π2]上是减函数；当k≥2时，ω≥103，f(x)＝cosωx在[0，π2]不是单调函数．所以φ＝π2，ω＝23或2.方法2：以上同方法1，cos3ωπ4＝0，由f(x)在[0，π2]上是单调函数，所以T＝2πω≥2×π2，即0ω≤2，所以ω＝23或ω＝2.1121fxfx首先看定义域是否关于原点对称；．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：在满足后，再看与的关系．1sin()(00)22(2)22322222yAwxAwwxFkwxkkxkwxkxZ函数，的单调区间的确定，其基本思想是把看作一个整体，由解出的范围，所得区间为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．比较三角函数的大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数；③利用．三角函数的单调函数的单性调性导出结果．