2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第27讲 平面向量的应用

4掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.61.向量中“数与形”转化化归思想向量既有大小，又有方向，兼备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究.2.向量的工具性作用线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几何问题,利用其运算可以研究代数问题.73.向量载体的意义函数、三角函数、数列、解析几何问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义.这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题.1.在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，且AB→＝DC→，则四边形ABCD是(C)A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形2.坐标平面内的一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A．2B．3C．4D．8【解析】AB→＝(7,12)－(4,6)＝(3,6)，t＝|AB→||v|＝355＝3.3.在重600N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°.重物平衡时，两根绳子拉力(单位：N)的大小分别为()A．3003，3003B．150,150C．3003，300D．300,3003【解析】由题意，F1＋F2＋G＝0，且F1·F2＝0，所以F21＋F1F2＋F1G＝0，所以|F1|2＋|F1||G|·cos150°＝0，所以|F1|＝－|G|·cos150°＝3003，同理，|F2|＝－|G|cos120°＝300.故选C.4.设x，y∈R，i，j是直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a＝xi＋(y＋3)j，b＝xi＋(y－3)j且a＋b＝6，则点M(x，y)的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．线段D．射线【解析】因为a＝x2＋y＋32，b＝x2＋y－32，由a＋b＝6，可得：x2＋y＋32＋x2＋y－32＝6，所以动点M(x，y)到两定点A1(0，－3)，A2(0,3)的距离之和等于6，而A1A2＝6，所以点M(x，y)的轨迹是线段．故选C.5.如图，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，则AD与BC所成的角为90°.【解析】由AB→2－AC→2＝DB→2－DC→2，得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝(DB→＋DC→)·(DB→－DC→)．设BC的中点为M，则2AM→·CB→＝2DM→·CB→，所以(AM→－DM→)·CB→＝0，所以AD→·CB→＝0，所以AD→⊥CB→，所以所成角为90°.一平面向量在平面几何和物理上的应用【例1】如图，△ABC的面积为14cm2，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，P为AE和CD的交点，求△APC的面积．【解析】设AB→＝a，BC→＝b为一组基底，则AE→＝a＋23b，DC→＝13a＋b.因为点A、P、E和D、P、C分别共线，所以存在λ、μ使AP→＝λAE→＝λa＋23λb，DP→＝μDC→＝13μa＋μb，又AP→＝AD→＋DP→＝(23＋13μ)a＋μb，所以λa＋23λb＝(23＋13μ)a＋μb.由平面向量基本定理，λ＝23＋13μ23λ＝μ，所以λ＝67μ＝47.S△PAB＝14×47＝8，SPBC＝14×(1－67)＝2，所以S△APC＝14－8－2＝4.【点评】利用平面向量的基本定理解证平面几何问题的关键是适当选取基底，而选择基向量应遵循以下原则：①尽量选择两个已知的向量；②尽量选择共点或具有垂直关系的两个向量；③尽量选择能将已知量、已知平面中的位置关系及所求量、所证的位置关系等中的两个向量．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2.为使所走路程最短，小船应朝与水速成135°角的方向行驶．素材1【解析】如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝|AB→|＝1，|v船|＝|AC→|＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝45°，故小船应朝与水速成135°角的方向行驶．二平面向量与三角函数的交汇【例2】已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．【解析】(1)因为b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以b＋c长度最大值为2.(2)a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，所以cos(α－β)＝cosα.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cosπ4，即β－π4＝2kπ±π4(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π2或β＝2kπ(k∈Z)，于是cosβ＝0或cosβ＝1.【点评】向量与三角函数的交汇，向量常常作为载体，将所求或题中的已知条件转化为三角函数式，再通过三角变换求解．设a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，其中α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．素材2【解析】a＝(2cos2α2，2sinα2cosα2)＝2cosα2·(cosα2，sinα2)，b＝(2sin2β2，2sinβ2cosβ2)＝2sinβ2(sinβ2，cosβ2)，因为α∈(0，π)，β∈(π，2π)，所以α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)，故|a|＝2cosα2，|b|＝2sinβ2，cosθ1＝a·c|a||c|＝2cos2α22cosα2＝cosα2，所以θ1＝α2；cosθ2＝b·c|b||c|＝2sin2β22sinβ2＝sinβ2＝cos(β2－π2)，因为0β2－π2π2，所以θ2＝β2－π2，又θ1－θ2＝π6，所以α2－β2＋π2＝π6，故α－β2＝－π3，所以sinα－β4＝sin(－π6)＝－12.【点评】本题是向量与三角函数结合的综合题，关键是利用数量积，将θ1、θ2转换成α、β，求得结果．三平面向量与函数、解析几何和数列的整合【例3】已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．(1)若a2，a3，a6依次成等比数列，求其公比q；(2)若a1＝1，OPn→＝(n，Snn)(n∈N*)，求证：对任意m，n∈N*，PmPn→都共线；(3)若a1＝1，d＝12，OQn→＝(ann，Snn2)(n∈N*)，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意n∈N*，点Qn都在这圆内或圆周上．【解析】(1)q＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3.(2)只需证明对任意m，n∈N*，有P1Pm→与P1Pn→共线，因为Sn＝n＋nn－1d2，得P1Pm→＝OPm→－OP1→＝(m,1＋m－12d)－(1,1)＝(m－1，m－12d)．同理可得P1Pn→＝(n－1，n－12d)，所以P1Pm→∥P1Pn→，即原命题成立．(3)因为an＝n＋12，Sn＝n2＋3n4，得OQn→＝(ann，Snn2)＝(12＋12n，14＋34n)，即Qn(12＋12n，14＋34n)，适合方程(x－12)2＋(y－14)2＝1316n2≤1316.故存在圆心为C(12，14)，最小半径是134的圆，对任意的n∈N*，点Qn都在这个圆内或圆周上．【点评】本题运用平面向量的相关知识，实现形到数的转化，巧妙地将平面向量、数列和解析几何等知识融合在一起．求函数y＝x－3＋10－9x2的最大值．素材3【解析】原函数可变为y＝－3＋13×3x＋10－9x2.设f(x)＝13×3x＋10－9x2.因为(3x)2＋(10－9x2)2＝10，所以构造向量a＝(13，1)，b＝(3x，10－9x2)．由|a·b|≤|a||b|，得|13×3x＋10－9x2|≤132＋12·3x2＋10－9x22，所以f(x)≤103，从而y≤－3＋103＝13，当且仅当－9x2＋103＝3x，即x＝13时，ymax＝13.【点评】本题巧妙地引入向量，用向量的数量积中的不等关系|a·b|≤|a|·|b|进行求解自然流畅，运用向量解决问题时，最关键的是建立向量模型，一般情况下，若是被开方数是一个平方的形式，则就可以将该数或式看成某个向量的模，从而引入向量，再借助向量知识进行解答．备选例题已知双曲线x2－y2＝2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标为(1,0)，证明：CA→·CB→为常数．【证明】由条件，知F(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．当AB与x轴垂直时，可知点A、B坐标分别为(2，2)、(2，－2)，此时CA→·CB→＝(1，2)·(1，－2)＝－1.当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)，代入x2－y2＝2，有(1－k2)x2＋4k2x－(4k2＋2)＝0，则x1、x2是上述方程的两个实根，所以x1＋x2＝4k2k2－1，x1x2＝4k2＋2k2－1.于是CA→·CB→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋1)(x1＋x2)＋4k2＋1＝k2＋14k2＋2k2－1－4k22k2＋1k2－1＋4k2＋1＝－4k2－2＋4k2＋1＝－1.综上所述，CA→·CB→为常数－1.471.由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题.2.利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁.