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培养不等式在数列、函数、方程中的应用及利用不等式解决实际问题的能力.1.不等式与数学各知识点联系紧密，主要有:①运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）；②运用不等式研究方程解的问题；③运用不等式研究几何关系问题（如相切、相交、相离，圆内、圆外）.2.数学有关知识点转化为不等式问题，其转化的途径有：①利用几何意义；②利用判别式；③应用变量的有界性；④应用函数的单调性；⑤应用均值不等式.3.不等式应用题,即创设了一个实际情境,应用数学相关知识来解决问题.在解题中要注意:①读懂题目，收集相关的数据（包括图形、数据、表格）；其次，能理解和把握有关量之间的关系，能用代数式表示出来.②确定数学模型.在有的应用题中，数学模型已经告知，解题时利用模型即可；有的应用题中用自然语言告知了数学模型，用数学语言翻译即成（或用待定系数法确定模型）；有的应用题虽然没有告知数学模型，但这种实际问题可以联想与转化为熟悉的数学问题.③解与不等式有关的数学问题.1.若函数f(x)＝mx2＋(m－1)x＋1在区间(－∞，1]上单调递减，则实数m的取值范围是()A．(0，13]B．[0，13)C．[0，13]D．(0，13)【解析】当m＝0时，f(x)＝－x＋1，为减函数，符合题意；当m≠0时，由已知m0－m－12m≥1，解得0m≤13.故m的取值范围是[0，13]，故选C.2.已知a，b为实数，则“ab1”是“1a－11b－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】ab1⇒a－1b－10⇒1a－11b－1，而当a＝0，b＝2时，1a－11b－1，从而1a－11b－1⇒/ab1，故选A.3.用清水清洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存量的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是4次(lg2＝0.3010)．【解析】设至少要清洗x次，则(1－34)x≤1100，所以(14)x≤1100，即4x≥100，x·lg4≥lg100，x≥1lg2≈3.3，故至少要清洗4次．4.函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，求点A在直线mx＋ny－1＝0(mn0)上，则1m＋1n的最小值为4.【解析】函数y＝a1－x(a0且a≠1)图象恒过点A(1,1)，则有m＋n－1＝0，即m＋n＝1.又因为mn0，所以1m＋1n＝(1m＋1n)(m＋n)＝2＋(nm＋mn)≥2＋2＝4.5.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f(2x2－3x－34)0的解集为{x|－72x5}.【解析】由题意，当x1时，f(x)0，故f(2x2－3x－34)0＝f(1)，即2x2－3x－341⇒2x2－3x－350，解之得－72x5.一不等式与函数综合【例1】已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a、b∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的a∈[12，2]，不等式f(x)≤10在[14，1]上恒成立，求b的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝1－ax2.当a≤0时，显然f′(x)0(x≠0)．这时f(x)在(－∞，0)、(0，＋∞)内是增函数．当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝±a.当x变化时，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)内是增函数，在(－a，0)、(0，a)内是减函数．(2)由(1)知，f(x)在[14，1]上的最大值为f(14)与f(1)中的较大者，对于任意的a∈[12，2]，不等式f(x)≤10在[14，1]上恒成立．综上，b的取值范围是(－∞，74]．【点评】在分析求解不等式与函数方程的综合问题时，通常应用等价转化数学思想和分离变量技巧，本例应充分理解“条件成立”，“能成立”三者之间的联系与本质区别．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．(1)求实数a的值；(2)证明：对任意的正整数，不等式lnn＋1nn＋1n2恒成立．素材1【解析】(1)f′(x)＝1x＋a－2x－1，因为x＝0时，f(x)取得极值，所以f′(0)＝0，故10＋a－2×0－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意．(2)由(1)有f(x)＝ln(x＋1)－x2－x，其定义域为{x|x－1}．由(1)知f′(x)＝－x2x＋3x＋1，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－32(舍去)，所以当－1x0时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x0时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以f(0)为f(x)在(－1，＋∞)上的最大值，所以f(x)≤f(0)＝0，故ln(x＋1)－x2－x≤0(当且仅当x＝0时，等号成立)．对任意正整数n，取x＝1n0，得ln(1n＋1)1n＋1n2，故lnn＋1nn＋1n2.二不等式与方程结合【例2】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)，且f(1)＝－a2，设a2cb.(1)判断a，b的符号；(2)证明：f(x)＝0至少有一个实根在区间(0,2)内．【解析】(1)因为f(1)＝－a2，所以3a＋2b＋2c＝0.①又因为a2cb，所以3a＋2b＋2c3a＋2a＋a＝6a，3a＋2b＋2c3b＋2b＋b＝6b，结合①式知a0，b0.(2)证明：由①式得b＝－32a－c，所以f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.又f(0)＝c，(ⅰ)当c≤0时，因为a0，所以f(1)＝－a20，且f(2)＝a－c0，所以f(x)＝0在区间(1,2)内至少有一个实根．(ⅱ)当c0时，因为a0，所以f(0)＝c0，且f(1)＝－a20，所以f(x)＝0在区间(0,1)内至少有一个实根．综上所述，f(x)＝0在区间(0,2)内至少有一个实根．【点评】方程根的存在性问题，根的分布问题等均必须应用不等式基础知识探究、求解．已知集合P＝{x|12≤x≤2}，y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[12，2]内有解，求实数a的取值范围．素材2【解析】(1)由已知Q＝{x|ax2－2x＋20}，若P∩Q≠∅，则说明在[12，2]内至少有一个x值，使不等式ax2－2x＋20，即在[12，2]内至少有一个x值，使a2x－2x2成立．令u＝2x－2x2，则只需aumin.又u＝－2(1x－12)2＋12，当x∈[12，2]时，1x∈[12，2]，从而u∈[－4，12]．所以a－4.(2)因为方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[12，2]内有解，所以ax2－2x＋2＝4即ax2－2x－2＝0在[12，2]内有解，分离a与x，得a＝2x＋2x2＝2(1x＋12)2－12，因为32≤2(1x＋12)2－12≤12，所以32≤a≤12，即a的取值范围是[32，12]．三不等式的实际应用问题【例3】某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去灭火，在火灾发生后5分钟到达救火现场后，就控制了火情．已知消除队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林大约损失60元，问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？【解析】设派x名消除队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元．依题意，50xt＝5×100＋100t，即t＝5×10050x－100＝10x－2，y＝125tx＋100x＋60(500＋100t)＝125x·10x－2＋100x＋30000＋60000x－2＝1250·x－2＋2x－2＋100(x－2＋2)＋60000x－2＋30000＝31450＋100[(x－2)＋625x－2]＝31450＋200625＝36450.当且仅当x－2＝625x－2，即x＝27时，y的最小值36450元．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少．【点评】若不等式的应用题为“ax＋bx”(ab0)型，用均值不等式解题时要特别注意等号成立的条件，若在指定范围内取不到等号，则须考虑利用函数的单调性(借助导数)求解．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8cm的空白，画面的左、右各留5cm的空白．(1)怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画的纸张面积最小？(2)如果要求λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？素材3【解析】(1)设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2＝4840.设所用纸张面积为Scm2，则S＝(x＋16)(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160，将x＝2210λ代入上式，得S＝5000＋4410(8λ＋5λ)≥5000＋4410·28λ·5λ＝6760.当且仅当8λ＝5λ，即λ＝58＜1时取等号．所以Smin＝6760cm2，此时x＝88cm，λx＝55cm.故当画面高为88cm，宽为55cm时，能使宣传画所用纸张面积最小．(2)设S(λ)＝5000＋4410(8λ＋5λ)，取23≤λ1＜λ2≤34，则S(λ1)－S(λ2)＝4410(8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2)＝4410(λ1－λ2)(8－5λ1λ2)．因为λ1λ2＞23＞58，所以8－5λ1λ2＞0.又λ1－λ2＜0，所以S(λ1)－S(λ2)＜0，即S(λ1)＜S(λ2)．所以函数S(λ)在[23，34]上单调递增．故当λ＝23时，能使宣传画所用纸张面积最小．备选例题(2011·阜阳模拟)假若你已经参加了工作，为了工作需要，花了10000元买了一台较高档的组装电脑，随着电脑的更新换代及工作的需要，从购买的第二年起，每年用于电脑更新换代的钱以200元的速度逐年递增，该电脑在三年内卖给别人肯定不划算(卖不出好价钱)，而三年后卖给别人最多只能卖2000元，那么你计划该电脑用了几年后报废才划算呢？【解析】设用了n年后报废划算，则这n年中用于电脑更新换代的钱中，第一年0元，第二年200元，第三年400元，…，第n年200(n－1)元，共有200＋400＋…＋200(n－1)＝100n(n－1)元．所以平均每年的费用为(n3)：y＝10000＋100nn－1－2000n＝8000n＋100n－100≥8005－100，当且仅当8000n＝100n，即n＝80时等号成立．而n∈N，且n＝9时，y≈1689元；n＝8时，y＝1700元，故计划用9年报废它最划算．1.求参数取值范围的问题是通过几何知识列出不等式，然后求解不等式或分离变量或数形结合，从而得出参数的取值范围.2.几何中距离、面积等最值问题，可以用重要不等式求解.3.不等式应用题要通过阅读、理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题（如解不等式、不等式的证明、均值不等式等）.