2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第8讲 幂函数、指数与指数函数

理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，了解它们的变化情况及基本性质；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．*1________(1)________________.__________________________________________.21nnxaxannnnnannanananN一般的，如果＝，那么叫做的①且，当为奇数时，正数的次方根是一个②，负数的次方根是一个③这时的次方根记为④；当为偶数时，正数的次方根有两个，可用符号⑤表示，其中叫做⑥，这里的叫做⑦，叫做⑧当为．根式奇数时，______00nnnnaanaaaaa＝；当为偶数时，＝⑨＝－**1_____(01)2______(01)30001__________(0)2__________(023mnmnrssraamnnaamnnaaarsaarNNQ我们规定正数的正分数指数幂的意义是：＝⑩，、，．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定＝⑪，，，．的正分数指数幂等于；的负分数指数幂没有意义．分数指数幂．有理数指数幂的性质．＝⑫，、；＝⑬，)3__________(00)rsababrQQ、；＝⑭，，．1__________(01)_____4___________.2xaaxya一般的，函数⑮，且叫做指数函数，其中是⑯，函数的定义域是⑰指数．函数＝的图象与指数性质函数及性质如下表：5.幂函数的定义(1)一般地，形如24________的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数．要重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．(2)幂函数的图象：(只作出第一象限图象)6.幂函数的图象和性质综合得，若29__________，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；若30__________，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．1.用分数指数幂表示下列各式：(1)3x2＝x23；(2)m3m＝m52；(3)3－22＝－212.2.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(12，22)，则k＋α＝32.【解析】因为f(x)＝k·xα为幂函数，所以k＝1.又f(x)图象过(12，22)，即(12)α＝22，所以α＝12，故k＋α＝1＋12＝32.3.设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．abcC．acbD．bac【解析】因为函数y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，所以0.20.30.30.3，即ab；因为函数y＝0.3x在R上为减函数，所以0.30.30.30.2，即bc，所以abc，故选B.4.若0a1，b－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由y＝ax(0a1)的图象向下平移－b(－b1)个单位长度，可知图象不过第一象限，故选A.5.函数y＝ax＋2012＋2012(a0，且a≠1)的图象恒过定点(C)A．(0,1)B．(0,2013)C．(－2012,2013)D．(－2012,2012)一有关指数幂的运算问题【例1】计算与化简：(1)[(338)－23－(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.02)－12×(0.32)12]÷0.06250.25；(2)3a－6·3a10·3a52·a－5.【解析】(1)原式＝[(827)23－(499)12＋(10008)23÷50×4210]÷(62510000)14＝[49－73＋25×152×4210]÷12＝(－179＋2)×2＝29.(2)原式＝a－63·a103·3a52·a－52＝(a43)12·(a0)13＝a23＝3a2.【点评】进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并能灵活运用．一般进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要特别注意运算顺序问题．化简：(1)(235)0＋2－2×(214)－12－(0.01)0.5＝1615；(2)3a32·a－3÷3a－7·3a13＝1a.素材1【解析】(1)原式＝1＋14×(49)12－(1100)12＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝(a32·a－32)13÷(a－73·a133)12＝(a0)13÷(a2)12＝1a.二幂函数及其性质应用【例2】已知幂函数y＝(k2－2k－2)·xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m和k的值；(2)求满足(a＋1)－m3(3－2a)－13的a的取值范围．【解析】(1)因为函数y＝(k2－2k－2)xm2－2m－3为幂函数，所以k2－2k－2＝1，即(k－3)(k＋1)＝0，所以k＝3或k＝－1，又函数在(0，＋∞)上递减，所以m2－2m－30m∈N＋，即－1m3m∈N＋，所以m＝1或2.而函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以m＝1，此时y＝x－4.综上，得k＝－1或3，m＝1.(2)由(1)，(a＋1)－13(3－2a)－13，即13a＋1133－2a，所以1a＋113－2a，3a－2a＋12a－30，所以a－1或23a32.故满足条件的a的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．【点评】幂函数的图象与性质由于α的值不同而较为复杂，解决与幂函数性质有关问题，关键是抓住其图象特征，将其转化为代数语言．(1)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1为奇函数，则m＝2；(2)已知幂函数f(x)＝x12(m－4)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，则f(x)＝x－2.素材2【解析】(1)因为函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，所以m＝2或m＝－1.又f(x)是奇函数，而m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数，所以m＝2.(2)因为f(x)在(0，＋∞)上递减，所以12m－40m∈N，所以m4m∈N，所以m＝0,1,2,3.而当m＝1或2或3时，f(x)不是偶函数；当m＝0时，f(x)＝x－2,为偶函数，故m＝0时，f(x)＝x－2.三指数函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝(13)|x－1|.(1)作出函数图象；(2)指出其单调区间；(3)写出函数值域，并指出当x取何值时，f(x)有最值；(4)若关于x的方程f(x)＝m有负数根，求m的取值范围．【解析】因为f(x)＝13x－1x≥13x－1x1.(1)图象如右．(2)由图可知，f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．(3)函数f(x)的值域是(0,1]．当x＝1时，f(x)有最大值，且[f(x)]max＝f(1)＝1，f(x)无最小值．(4)由图可知，f(x)＝m有负根，则0m13，故m的取值范围是(0，13)．【点评】(1)对带有绝对值的函数作图，一般有两种方法，一种是去掉绝对值，化简函数式后作图；一种是不去掉绝对值，利用图象变换作图．(2)复合函数的值域可采用换元法，结合中间变量范围求函数值域；复合函数的单调性，根据内外函数的单调性，由“同增异减”的规律来确定．(1)设函数f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－2)f(－1)B．f(－1)f(－2)C．f(1)f(2)D．f(－2)f(2)(2)设f(x)＝|3x－1|，cba，且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A．3c3bB．3b3aC．3c＋3a2D．3c＋3a2素材3【解析】(1)因为f(2)＝4，即a－2＝4，所以a＝12，所以f(x)＝(12)－|x|＝2|x|，所以f(－2)f(－1)，故选A.(2)因为f(x)＝3x－1x≥01－3xx0，又cba，且f(c)f(a)f(b)，故c0，a0，则1－3c3a－1，所以3c＋3a2，故选D.四指数函数的综合应用【例4】已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【分析】(1)函数的奇偶性可由定义来判断；(2)函数的单调性可由定义，导数法或由基本函数的单调性观察确定，对含参问题注意参数对单调性的影响；(3)f(x)≥b恒成立，只需[f(x)]min≥b.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，又y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，又y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)在R上是增函数．(3)由(2)可知，函数f(x)为R上的增函数，当x∈[－1,1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)，所以[f(x)]min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝－1.要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.所以b的取值范围是(－∞，－1]．【点评】指数函数是构成复杂函数的一个基本单元，其性质、定义域、值域直接影响整个函数．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．素材4【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(x)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x＋1＝－2x4x＋1，所以f(x)＝2x4x＋10x10x＝0－2x4x＋1－1x0.(2)证明：设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝2x1＋2x2＋2x1－22x1＋x2－2x24x1＋14x2＋1＝2x1－2x21－2x1＋x24x1＋14x2＋1.因为0x1x21，所以2x12x2，2x1＋x21，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．故f(x)在(0,1)上是减函数．备选例题已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝3x，且f(a＋2)＝3a＋2＝18，所以3a＝2.因为g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，所以g(x)＝2x－4x，x∈[－1,1]．(2)g(x)＝－(2x－12)2＋14，当x∈[－1,1]时，2x∈[12，2]．令t＝2x，由二次函数单调性知y＝－(t－12)2＋14在[12，2]上是减函数，所以函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(3)由(2)知，t＝2x∈[12，2]，则方程g(x)＝m有解⇔2x－4x＝m在[－1,1]内解⇔m＝t－t2＝－(t－12)2＋14，t∈[12，2]．所以m的取值范围是[－2，14]．1201xyaaa．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序．．指数函数＝的底数须满足条件且，