一、离散型随机变量的均值和方差的概念Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平平均偏离程度()DX算数平方根其中_________________为随机变量X的标准差.(2)方差称D(X)=___________________________________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________注:方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值。nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()(XDX为标准差记作:二、离散型随机变量的性质:(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)aE(X)+ba2D(X)p(1)pp(1)nppnp(1)若X服从两点分布,则E(X)=_________,D(X)=______________.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________________.2.两点分布与二项分布的均值与方差1.线性性质:规律方法求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤:(1)理解X的意义,写出X的可能取值;(2)求X取每一个值的概率;(3)写出随机变量X的分布列;(4)由期望、方差的定义求E(X),D(X).特别地,若随机变量服从两点分布或二项分布,可根据公式直接计算E(X)和D(X).2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=______.1691173.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,28.1)(,6.1)(),,(~DEpnB且AhhDD则,且、已知,138131例1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.超几何分布练习:某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.解析:(1)投篮一次,命中次数ξ的分布列为:ξ01P0.40.6故Eξ=p=0.6,Dξ=pq=0.6×0.4=0.24.练习:某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.故Eξ=np=5×0.6=3.Dξ=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2.解析:(2)重复5次投篮,命中次数η服从二项分布即η~B(5,0.6)例2:设随机变量ξ具有分布列P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求E(2ξ+5),D(2ξ-1),,51.3515515514513512511)(E解析:.)1(D∴E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=11.ξ是随机变量,则η=aξ+b仍是随机变量,在求η的期望和方差时,熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算..)()()()()()()(241014515135513451335132513122222D.2)()1(DD点评:∴D(2ξ-1)=4D(ξ)=8,例3(湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.解:(1)ξ的分布列为01234P2120110120351(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4..75.251)5.14(203)5.13(101)5.12(201)5.11(21)5.10()(.5.1514203310122011210)(22222DE..4,2,2,2即为所求或baba【例4】在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂,现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据实验设计学原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验,用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.(1)写出X的分布列(以列表的形式给出结论,不必写计算过程);(2)求X的均值(要求写出计算过程或说明理由).分析:(1)现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂,从中随机选取两种不同的添加剂进行搭配;(2)X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和;(3)可首先利用排列组合知识确定其分布列,然后求E(X).解:(1)X的分布列为X123456789P11511521521515215215115115(2)由E(X)的定义得E(X)=(1+2+8+9)×115+(3+4+6+7)×215+5×15=5.思考题:基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量ξ的期望、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的期望、方差和标准差,可直接用ξ的期望、方差的性质求解;(3)如能分析所给随机变量,是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差.失误与防范1.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤:(1)找出随机变量X的可能取值;写出随机变量X的分布列;(2)由期望、方差的定义求E(X),D(X);特别地,若随机变量满足线性性质或服从两点分布、二项分布,可根据公式直接计算E(X)和D(X)2.均值与方差在实际生产、生活中的作用:它反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中于离散程度。在实际应用中先运算均值,看一下谁的平均水平高,如果均值相同,则计算方差来分析最后的选取由实际情况而定。