2.5解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)

1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.(必有一边)每周一清晨，学校的全体师生都要举行升旗仪式。可是我们经常发现，在国歌声中，旗手升旗的速度有快有慢，很难做到与音乐的节奏同步。现在我们学校准备投资换一根电动旗杆。请你帮忙计算国旗上升的速度，让国旗上升的速度与音乐同步。课堂引入利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题除了用相似，还可以用其他方法来测量这些不能直接测量的物体的长度吗？探究1：如图，小明发现了另外一个利用解直角三角形，测量操场上旗杆高度的方法，离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，仰角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你能将实际问题归结为数学问题吗？30°10米1.65米ABCDE?解：由题意得，在Rt△ABE中小资料铅垂线水平线仰角俯角在实际测量中的角视线视线从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；如图，BCA=DEB=90，FB//AC//DE，从A看B的仰角是______；从B看A的俯角是；从B看D的俯角是；从D看B的仰角是。DACEBF∠FBD∠BDE∠FBA∠BAC水平线例1：如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?DABC┌50m300600∴该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知，∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,这道题你能有更简单的解法吗？要解决这问题,我们仍需将其数学化..60tantan,tan0CDDBCCDBCBCCDDBCBCDRt中，在.30tantan,tan0CDACDACACCDAACDRt中，在∵AC-BC=AB,5060tan30tan00CDCD解得CD≈43（m）探究2：如图，小兰发现了另外一个测量操场上旗杆高度的方法，她把测角仪搬到教学楼的三楼窗口处，测得旗杆的顶部仰角为45°,测得旗杆底部俯角为30°，教学楼离旗杆底部200米，然后她也很快就算出旗杆的高度了。思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？45°30°200米POBAD新知巩固变式1：一架直升飞机在200米的高空P处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求大楼之间的水平距离和大楼AB的高。在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30度．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68度.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.)解：过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度．根据题意得∠ACD=30°，∠BCD=68°．设AD=x.则BD＝BA十AD=1000＋x.在Rt△ACD中，CD=………4分在Rt△BCD中，BD=CD·tan68°∴1000+x=x·tan68°………………………7分∴x=∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米。……9分0x=3xtantan30ADACD30100010003081.72.513tan681青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒洋洋在大树底下睡懒觉，此时，测得懒洋洋所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°．已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒种后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）．答案：约7秒变式训练：1.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.在CD上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).注：tan400≈0.8391cos51.120≈0.6277EBCD2m4005m练习将其数学化.解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.∴∠BDE≈51.12°,40tan0BDBCBCDRt中，在,12.51cos0DEDBBDERt中，在答:钢缆ED的长度约为7.96m..40tan0BDBC)(1955.6240tan20mBDBCBE05tan402tan1.24.5BEBDEBD.96.76277.0512.51cos0mDBDE在Rt△BDE中，EBCD2m4005m图5QBCPA45060°30°答案：AB≈520（米）2、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果保留根号）.3.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).sin400≈0.6428sin350≈0.5736要解决这问题,我们仍需将其数学化.ABCD┌4m350400如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.,40sin10BDBCBCDRt中，）在解：（.40sin0BDBC,35sin0ABBCABCRt中，在答:调整后的楼梯会加长约0.48m.000sin4040.64284.48.sin35sin350.5736BCBDABm.48.0448.4mBDABABCD┌4m350400,40tan20DCBCBCDRt中，）在（.40tan0BCDC,35tan0ACBCABCRt中，在答:楼梯多占约0.61m一段地面..35tan0BCACDCACAD0040tan135tan1BC00040tan135tan140sinBD.61.0mABCD┌4m350400解题思路导图实际问题图形分析生活问题数学化（构造直角三角形）设未知量解答问题（构建三角函数模型）（代入数据求解）求解方程数学问题建立方程小结：学完本课后你有哪些收获？1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.思想与方法模型一模型二DCBA我的收获模型三