2将军饮马的六大常见模型

小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page1of7将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page2of7DABCMEHMDACBEFEB'DBACMN30°2ABCMN30°2MNB'BAC二、常见题目Part1、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，丐AE=2，求EM+EC的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH=AH–AE=3–2=1，BH=BC2-CH2=62-32=33在直角△BHE中，BE=BH2+HE2=(33)2+12=272．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MNB'N的长就是MB+MN的最小值则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=90°，∠B'=30°。∴AN=1在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N=3小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page3of7MBCDANPEBCDAPQBCDAEBCDAPart2、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=233．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小∵点B关于AC的对称点是D点，∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根据勾股定理，得，DQ=54．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为55小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page4of7PA'DCBAPECADBHPEC'DACBPart3、矩形1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH=205直角△BCH中，BH=85△BCC'的面积为：BH×CH=160∴C'E×BC=2×160则CE'=16Part4、菱形1．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的长为52Part5、直角梯形1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A、17172B、17174C、17178D、3解：作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P则A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的长就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中，AB=4，BP=1根据勾股定理，得AP=17∴AP上的高为：2×417=81717小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page5of7PA'BADOCPA'BANOMxyC'DCBAOPPart6、圆形1．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．解：在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA'=OB=4根据勾股定理，A'B=422．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()A22B2C1D2解：MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形∴A'B=2Part7、一次函数20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)由题意得：0=2x+b，4=b解得k=-2，b=4，∴y=-2x+4(2)作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P则C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接CD，则CD=2，CC'=2在直角△C'CD中，根据勾股定理C'D=22求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)∴，有0=-k+b，2=k+b解得k=1，b=1，∴y=x+1当x=0时，y=1，则P(0，1)小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page6of7xyPBCAOxyCBAODxyBAOCPart8、二次函数1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？若存在求出点C坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)B(1，3)(2)y=33x2+233x(3)∵点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，交对称轴于点C，则△BOC的周长最小y=33x2+233x，当x=-1时，y=33∴C(-1，33)2．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；解：（1）①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。（2）连接BC，交直线l于点D，则DA+DC=DB+DC=BC，BC的长就是AD+DC的最小值BC：y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1，2)，3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．(1)由题意得b2a=19a-3b+c=0c=-2解得a=23，b=43，c=-2∴抛物线的解析式为y=23x2+43x-2小马成群------初三数学丏题复习之将军饮马page7of7xyEPBCAOD(2)点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则△PBC的周长最小设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(-3，0)，C(0，-2)，则0=-3k+b-2=b解得k=-23，b=-2∴直线AC的解析式为y=-23x–2把x=-1代入得y=-43，∴P(-1，-43)(3)S存在最大值∵DE∥PC，∴OEOA=ODOC，即OE3=2-m2OE=3-32m，AE=OA–OE=32m方法一，连接OPS=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED=12×(3-32m)×43+12×(2-m)×1-12×(3-32m)×(2-m)=-34m2+32m=-34(m-1)2+34∴，当m=1时，S最大=34方法二，S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD=-34m2+32m=-34(m-1)2+34