ch8多元函数微积分及其应用

高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组第八章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组§81多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(xy)之间就建立了一一对应于是我们常把有序实数组(xy)与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(xy)的全体即R2RR{(xy)|xyR}就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)|x2y2r2}如果我们以点P表示(xy)以|OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成C{P||OP|r}邻域设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0(x0y0)距离小于的点P(xy)的全体称为点P0的邻域记为U(P0即}|||{),(00PPPPU或})()(|),{(),(20200yyxxyxPU邻域的几何意义U(P0)表示xOy平面上以点P0(x0y0)为中心、0为半径的圆的内部的点P(xy)的全体点P0的去心邻域记作),(0PU即}||0|{),(00PPPPU注如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作)(0PU点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点(3)边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E聚点高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组如果对于任意给定的0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(xy)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子E{(xy)|1x2y22}闭集的例子E{(xy)|1x2y22}集合{(xy)|1x2y22}既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E{(xy)|1x2y22}闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{(xy)|1x2y22}有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合{(xy)|1x2y22}是有界闭区域集合{(xy)|xy1}是无界开区域集合{(xy)|xy1}是无界闭区域2n维空间设n为取定的一个自然数我们用Rn表示n元有序数组(x1x2xn)的全体所构成的集合即RnRRR{(x1x2xn)|xiRi12n}Rn中的元素(x1x2xn)有时也用单个字母x来表示即x(x1x2xn)当所有的xi(i12n)都为零时称这样的元素为Rn中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应因而Rn中的元素x(x1x2xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量为了在集合Rn中的元素之间建立联系在Rn中定义线性运算如下设x(x1x2xn)y(y1y2yn)为Rn中任意两个元素R规定xy(x1y1x2y2xnyn)x(x1x2xn)这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间Rn中点x(x1x2xn)和点y(y1y2yn)间的距离记作(xy)规定2222211)()()(),(nnyxyxyxyx高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组显然n123时上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至Rn中元素x(x1x2xn)与零元0之间的距离(x0)记作||x||(在R1、R2、R3中通常将||x||记作|x|)即22221||||nxxxx采用这一记号结合向量的线性运算便得),()()()(||||2222211yxyxnnyxyxyx在n维空间Rn中定义了距离以后就可以定义Rn中变元的极限设x(x1x2xn)a(a1a2an)Rn如果||xa||0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xax1a1x2a2xnan在Rn中线性运算和距离的引入使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如设a(a1a2an)Rn是某一正数则n维空间内的点集U(a){x|xRn(xa)}就定义为Rn中点a的邻域以邻域为基础可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念二多元函数概念例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h这里当r、h在集合{(rh)|r0h0}内取定一对值(rh)时V对应的值就随之确定例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系VRTp其中R为常数这里当V、T在集合{(VT)|V0T0}内取定一对值(VT)时p的对应值就随之确定例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻由电学知道它们之间具有关系2121RRRRR这里当R1、R2在集合{(R1R2)|R10R20}内取定一对值(R1R2)时R的对应值就随之确定定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)值域f(D){z|zf(xy)(xy)D}函数的其它符号zz(xy)zg(xy)等类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为uf(x1x2xn)(x1x2xn)D或简记为uf(x)x(x1x2xn)D也可记为uf(P)P(x1x2xn)D关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数zln(xy)的定义域为{(xy)|xy0}(无界开区域)函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(xy)|x2y21}(有界闭区域)二元函数的图形点集{(xyz)|zf(xy)(xy)D}称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在P(xy)P0(x0y0)的过程中对应的函数值f(xy)无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限定义2设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0PUDyxP时都有|f(P)A||f(xy)A|成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或f(xy)A((xy)(x0y0))也记作APfPP)(lim0或f(P)A(PP0)上述定义的极限也称为二重极限高等数学教案§8多元函数微分法及其应用重庆三峡学院高等数学课程建设组例4.设22221sin)(),(yxyxyxf求证0),(lim)0,0(),(yxfyx证因为2222222222|1sin||||01sin)(||0),(|yxyxyxyxyxyxf可见0取则当22)0()0(0yx即),(),(OUDyxP时总有|f(xy)0|因此0),(lim)0,0(),(yxfyx必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在讨论函数000