67光子晶体平面波法初学者的研讨

光子晶体平面波法初学者的研讨目录 光子晶体平面波法初学者的研讨..........................................................................................................1 光子带结构的平面波展开法..................................................................................................................2 1从MAXWELL方程组到光子晶体本征方程.............................................................................2 2本征方程的平面波展开............................................................................................................3 3二维情况下的本征方程...........................................................................................................6 4平面波扩展法的讨论...............................................................................................................7 4.1光子晶体带隙的无标度性.......................................................................................................7 4.2光子晶体平面波展开法的计算步骤.......................................................................................8 二维光子晶体的光子带结构................................................................................................................10 1二维光子晶体的介电函数的FOURIER变换............................................................................10 1.1正方晶格.................................................................................................................................11 1.2三角晶格.................................................................................................................................12 三维光子晶体的光子带结构................................................................................................................14 1三维光子晶体的介电函数的FOURIER变换...........................................................................14 1.1FCC晶格..................................................................................................................................15 1.2金刚石晶格............................................................................................................................16 附录MATLAB程序源代码......................................................................................................................19 附录A二维结构光子晶体带结构计算程序................................................................................19 附录B三维结构光子晶体带结构计算程序................................................................................29 1光子带结构的平面波展开法各种特定结构的光子晶体的能带及其透射特性研究具有极其重要的应用前景和基础研究价值。平面波展开方法是研究光子晶体能带结构的有效方法之一。这里，将从Maxwell方程组出发，以平面波展开法（PWM）推导出电磁波在光子晶体中的本征方程。1从Maxwell方程组到光子晶体本征方程假设在研究的光子晶体中，不存在净电荷且电流为零，根据Maxwell方程组：·0·0(1.1)式中，D为电位移矢量，B为磁感应强度矢量，E为电场强度矢量，H为磁场强度矢量。在此我们进一步假定，D与E只存在线性关系，忽略高阶关系，同时介质为非磁性介质，则有：＝，＝(1.2)式中，与分别为真空中的介电常数和磁导率，为相对介电常数，它是空间位置r的函数。将电场强度矢量及磁场强度矢量写成简谐模式：,＝，,＝(1.3)将(1.3)式代入(1.1)式的第三式，则有：·2整理得：同理，将(1.3)式代入(1：.1)式的第四式，整理后得(1.4b)对(1.4a)式两边取旋度，并将(1.4b)代入，有：考虑到＝1/，上理后可得C为真空中的光速，则式整1(1.5a)同理，对(1.4b)式两边，代过整理后，有：取旋度并将(1.4a)入，经1(1.5b)由此我们得到光子晶体中了电场强度矢量及磁场强度矢量所满足的本征方程。令Θ＝，Θ＝，于是(1.5a)与(1.5b可改写成)Θ,Θ(1.6)容易证明，Θ不是厄密算符，其本征值不正交，而Θ是厄密算符。因此，往往求解磁场可能会更为方便。2本征方程的平面波展开为了求解上面的本征方程，将磁场强度矢量展开成一系列平面波的叠加：,,,·(1.7)3其中,表示波矢为的磁场分量平面波的两个正交偏振方向的单位矢量，且{,1,,2,}构成右手螺旋系，满足·,0，,表示,＝1方向上的振幅。令(1.8)因为周期性介质中是周期性函数，因此也必为周期性函数。因此可在k空间展开为：＝·(1.9)根据：(1.8)(1.9)式，则有1＝,,·,,,·,,,,,·,,把上式代入(1.5b)，则有：,,·,,＝ω,,,·两边乘以,·，r空间，可对全积分得：,·,,,,,＝ω,·,,,,进一步化简可得：’,·,,,,＝ω,·,,,注意到,·,＝,，所以上式可进一步化简为45,·,,,,＝ω,(1.10)将写成，(1.10)改写为,·,,,,＝ω可,再将写为，则上式可进一步写成：,·,,,,＝ω‘,将改写为，将改写为，改写为，改写为，则上式转变成[3,62]：,·,,,,＝ω,(1.11)因为存在如下矢量运算关系：··因此，,,＝,·,＝,·,将[3,62]上式代入(1.11)式，最终我们得到：,·,,,,＝ω,(1.12)(1.12)即为,本征方程组。对于给定的k,,的本征矩阵Θ的元素是Θ,,,＝,·,该矩阵的结构如下：Θ1,,1,Θ1,,2,Θ1,,1,Θ1,,2,…Θ1,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,…Θ1,,2,Θ1,,1,Θ2,,2,Θ1,,1,Θ1,,2,…Θ1,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,…Θ1,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,Θ2,,1,Θ2,,2,…Θ2,,2,(1.13)这就意味着，在有N个原胞的光子晶体中（倒格矢数量为N），对于每个给定的，它的本征矩阵拥有22个元素，其本征值为3二维情况下的本征方程二维情况下，可设光子晶体介质柱在xy平面呈周期性结构排列，介质柱轴平行于z轴方向。这种结构在xy方向具有一定的周期性，沿着z方向是同性的，如图1.1所示。图1.1二维光子晶体示意图对于二维光子晶体，入射电磁波可以分解磁场平行于介质柱的TE模和电场平行于介质柱的TM模。TE模电场只具有平行于xy方向的分量，磁场只有平行于z方向的分量。此时H和E可以分别写成：,＝＝,,0,＝0,0,(1.14)式中，r为xy平面上的矢量。将(1.14)代入(1.1)Maxwell方程组，整理后得6到关于的方程：112将和进行Fourier展开，得：(1.15)1＝·(1.16)·(1.17)将(1.16)式、(1.17)式代入(1.15)式，仿照2.2节中的方法，整理后，得到的本征方程组[61]：·＝ω,对于TM模式，将(1.18)展开，得：·经过相似的处理后，得到本征方程组的||||＝ω,(1.19)4平面波扩展法的讨论4.1光子晶体带隙的无标度性光子晶体带隙具有无标度性。这就是说两个光子晶体如果其余参数都相同，只是尺寸不同，那么它们具有相同的光子带隙结构，仅仅是带隙的波长范围不同。7因此，在讨论光子晶体的光子带结构时常用归一化频率/2为单位，表示光子晶体带结构的无标度性。下面给出简单证明。设光子晶体的晶格常数为a程.1)中的标度可以变换为:，则对于方(1(1.20)式中为无量纲位矢，为无量纲时间。此时定义新的电介质函和新的磁场强度矢量如下：＝＝则,必然满足下式：(1.22)’1‘(1.22)式中’为的梯度，如果两个光子晶体其余参数都相同，仅仅是尺度不同，那么它们的本征方程可以通过尺度变换写成一样的关于无量纲位矢的方程形式，也就是说光子晶体具有无标度性。因此，在光子晶体中，涉及频率时候通常用归一化频率:/2(1.23)来表示带隙，这是由光子晶体带隙的无标度性决定的。采用这个归一化频率后可以清楚地看出，光子晶体带隙是由光子晶体的晶格常数决定的，需要什么波长范围的带隙，只需改变光子晶体的晶格常数就可以得到。因此本文在后面的讨论中，频率单位都采用这个归一化频率/2。4.2光子晶体平面波展开法的计算步骤用平面波展开法求解光子带结构的目的是获得本征矩阵Θ并计算其本征值。该算法的执行步骤可以总结如下：1.设定光子晶体的结构参数，包括晶格常数、介质的介电常数、几何参数等，并计算倒格子空间的基矢。82.设定平面波波数。原则上，晶体有多少个原胞，就应该采用选取多少个平面波，才能得到精确解。但我们知道，由于Fourier级数的收敛性，低频的平面波贡献远大于高频，因此可以在一定的空间频率截断级数而不造成过大的误差。因此，虽然所取平面波的个数越多，计算结果就越精确，但是其占用计算机内存资源也就越多，导致计算时间增加，合理选取平面波的个数就非常值得注意。3.计算介质介电函数的Fouirer变换系数。4.构造本征矩阵Θ5.令波矢k沿简约布里渊区边界扫描一周，不同的k值，得到不同的Θ矩阵和本征值，也就得到k-的色散关系，即光子晶体的光子带结构。9二维光子晶体的光子带结构如图1.1所示，二维光子晶体由空气中的介