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第25章解直角三角形《测量》学习内容：华东师大版86--87页学习目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。重点：探索测量距离的几种方法。难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度学法指导：自主预习，合作探究学习过程1.三角形相似的判断方法有哪些？2.相似三角形有什么性质？3.有个三边长分别是3米，4米，5米的三角形花坛，请你按1:100的比例将它画在下面。自主预习教材86---87页内容，完成下列题目：1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你设计一个切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度。当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你是否想过：这根旗杆有多高？我们能否用学过的知识来解决这个问题呢？探究一：利用太阳光下的影子测量旗杆高度如图25．1．1，选一名同学与旗杆一样立于操场阳光下。思考：（1）图中的两个三角形相似吗？为什么？（2）根据实际情况，两个三角形中有哪些边长可以直接测量出来？你用的测量工具是什么？（3）本题中需要测量哪些边长就可以算出旗杆的高度？(4)你是利用什么知识来计算旗杆高度的？通过上面的探究，你能设计出用这种方法测量旗杆高度的方案吗？但是如果就你一个人，又遇上阴天，这种方法还能用吗？探究二：利用测角仪测量旗杆的高度如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？（提示：先测量出教材上图25．1．2中B′C′的长度）学以致用：知识链接教材87页习题25.1123题拓展提高：探究三：利用标杆测量旗杆的高度选一名同学做观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的顶部，标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离，以及观测者的脚到标杆底部的距离，然后，测得标杆的高，利用相似三角形相关知识计算。探究四:利用平面镜反射测量旗杆的高度选一位同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做标记观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子上的标记重合，测数据，利用相似三角形的判定及性质可求出旗杆的长。应用提高：设计一种方案，测量学校教学楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三边对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。解答：测量过程如下：1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。2、测出CF、CH的距离。大楼3、算出KE的长度。21世纪教育网4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。标杆5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。2．大楼的高度=AB+人高。3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以致用。1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m求AB长。(AB=62.8m)21世纪教育网[来源:21世纪教育网](1)(2)2.如图2,为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。(在地面上另作Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°,测得A’C’=16.35米，得AC=16.35米).《锐角三角函数的定义》学习内容：华东师大版88---90页例1结束学习目标：（1）记住正弦、余弦、正切、余切的概念（2）会利用正弦、余弦、正切、余切的概念求三角函数值（3）会运用参数法求三角函数值（4）知道四种三角函数的取值范围重点：三角函数的定义及三角函数值的求法难点：用参数法求三角函数值学法指导：自主学习，合作探究学习过程自主预习教材88---90页例1结束，完成下列问题：1.如图（课本88页图25.2.1）,已知Rt△ABC中,∠C＝90°,(1)∠A的对边是,∠A的邻边是,斜边是；(2)∠B的对边是,∠B的邻边是；（3）sinA=cosA=tanA=cotA=2.Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，AB＝10，求∠B的四个锐角三角函数值。3.分别写出四种锐角三角函数的取值范围：sinAcosAtanAcotA探究一：直角三角形的边角间的位置关系1.直角三角形ABC可以简记为：（），直角∠C所对的边AB称为（），用小写字母（）表示，另两条直角边AC与BC分别用小写字母（）和（）表示，其中b叫∠A的（）边，a叫∠A的（）边。2.你能说出∠B的对边和邻边吗？学以致用：如上右图，在Rt△MNP中，∠N＝90.∠P的对边是_______,∠P的邻边是_________;∠M的对边是_______,∠M的邻边是_______;想一想：∠P的对边、邻边与∠M的对边、邻边有什么关系？探究二：四种锐角三角函数的定义记作：sinA=记作：cosA=记作：tanA=记作：cotA=归纳：我们把锐角∠A的（），统称为锐角∠A的三角函数。注意：1.sinA、cosA、tanA、cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角。2.sinA、cosA、tanA、cotA，它们是一个整体，不能拆开来理解（如：sinA不是sin与A的乘积）。3.sinA、cosA、tanA、cotA是一个比值，没有单位。4.只用一个大写字母表示角时，书写三角函数通常省略角的符号“”，其它时候不能省略。例如：sin∠l不能写成sinl,sin∠BAC不能写成sinBAC。思考：你能根据四种锐角三角函数的定义，说出它们各自的取值范围吗？学以致用：1.如下图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求∠A的四个三角函数的值。跟踪练习：（1）求出1题中∠B的四个三角函数的值。（2）判断对错（根据右图）：()()()()(3)判断题：如右图，（）2.在Rt△ABC中，∠C=90°AC=2BC,求sinA的值。跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：AB=4：5,求tanA的值。3.已知在中，，，求的另外三个三角函数值．跟踪练习：已知在中，，，求的另外三个三角函数值，的四个三角函数值．4.在Rt△ABC中，∠C=90°,cosA=4/5,AB=10,求AC、tanB.跟踪练习：Rt△ABC中，∠C=90°，,求BC的长和∠A的三角函数值。5.如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=4/5，求AC的长。1.在△ABC中，∠B=90º，BC=3，AC=4，则tanA=（），cosA=（）2根据右图，求∠A和∠B的三角函数值。3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求cosB的值。4.（拓展题）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，,求AB、BC、DC的长。《正弦》学习内容：华东师大版88---90页学习目标：1.知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦（sinA）概念。2.知道正弦的取值范围3.能根据正弦概念正确进行计算重点：能根据正弦概念正确进行计算难点：会运用参数法求正弦值学法指导：合作探究学习过程自主预习教材88---90页例1结束，完成下列问题：1.如图（课本88页图25.2.1）,已知Rt△ABC中,∠C＝90°,(1)∠A的对边是,∠A的邻边是,斜边是；(2)∠B的对边是,∠B的邻边是；（3）sinA=sinB=2.Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，AB＝10，求sinA。3.写出sinA的取值范围：探究一：直角三角形的边角间的位置关系直角三角形ABC可以简记为：（），直角∠C所对的边AB称为（），用小写字母（）表示，另两条直角边AC与BC分别用小写字母（）和（）表示，其中b叫∠A的（）边，a叫∠A的（）边。思考：你能说出∠B的对边和邻边吗？学以致用：如右图，在Rt△MNP中，∠N＝90.∠P的对边是_______,∠P的邻边是_________;∠M的对边是_______,∠M的邻边是_______;想一想：∠P的对边、邻边与∠M的对边、邻边有什么关系？探究二：锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值会改变吗？1、含角的直角三角形，有什么性质？2、上述结论与所选取的直角三角的大小有关吗？3、含角的直角三角形中，角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？4、一般地，在中，为其一个锐角，当取一个固定的值的时，所对的直角边和斜边的比值固定吗？分析：见下图（1）分别是哪几个直角三角形的内角？（2）在每个直角三角形中，的对边与斜边之比分别是什么？（3）这几个比值相等吗？为什么？现在，你能回答“锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值会改变吗？”这个问题了吗？归纳：探究三：什么是正弦？由探究二我们知道：“当锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值也固定不变”，我们就把这个固定不变的比值叫做A的正弦。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA，即：如：B的正弦表示为：sinBβ的正弦表示为：sinβABC的正弦表示为：sinABC1的正弦表示为：sin1如果ABC=30°，则sinABC=sin30°问：你能照上面的方法表示出B的正弦吗？注意：1.sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角。2.sinA是一个整体，不能拆开来理解（如：sinA不是sin与A的乘积）。3.sinA是一个比值，没有单位。4.只用一个字母表示角时，书写正弦时通常省略角的符号“”，其它时候不能省略。例如：sin∠l不能写成sinl,sin∠BAC不能写成sinBAC。探究三：正弦的取值范围是什么？思考：对于任意锐角A,sinA的范围是什么呢？提示：根据sinA的定义和直角三角形中直角边和斜边的大小关系。学以致用：1.如下图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求∠A和∠B正弦。跟踪练习：（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。（2）判断对错（根据右图）：()()()()(3)判断题：如右图，（）2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,AC=2,CD=1，求sin∠BCD.3.在Rt△ABC中，∠C=90°AC=2BC,求sinA的值。跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：AB=4：5,求sinA的值。4.已知在中，，，BC=4,求AC的长。跟踪练习：已知在中，，,AB=10，求BC的长。5.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值有什么变化？为什么？6.如果sinA=，你能对这个式子进行变形吗？有几种？跟踪练习：在△ABC中，∠C=90°，则在边角关系中不正确的是()A．a=c·sinAB．a=b·tanAC．b=c·cosBD．a=b·cotB1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是()2在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是()3Rt△ABC中，∠C=90°AB=10，sinB=，BC的长为()4如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D。(1)sinB可以为哪两条线段之比？(2)若AC=5，CD=3，求sinB的值6.直角三角形的斜边和一条直角边的比为25∶24，求其中最小的角