45第5章正弦交流电路稳态分析

1第5章正弦交流电路稳态分析知识要点·熟悉正弦量三要素、相量、阻抗、谐振的概念；·掌握用相量法分析求解正弦稳态电路的方法；·熟悉和掌握正弦稳态电路的功率及功率因数的概念和计算。5.1正弦交流的概念5.1.1正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦交流电。通常所说的交流电就是指正弦交流电，对正弦交流电数学描述，可采用正弦函数，也可以用余弦函数。本书对正弦交流电采用正弦函数描述。以正弦电流为例，其瞬时表达式为)sin(imtIi（5-1）其波形如图5-1所示（i≥0），横轴可用t表示，也可用t表示。图5-1正弦电流波形图5.1.2正弦量的三要素大小方向随时间按正弦规律变化的电压或电流都称为正弦量。以电流为例，式（5-1）中三个常数i、、mI称为正弦量的三要素。mI称为正弦量的振幅，也称为最大值。正弦量是一个等幅振荡、正负2交替变化的周期函数。振幅是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，在一定程度上反映正弦量的大小。称为正弦量的角频率，表示正弦量每秒钟变化的角度大小，国际单位制（SI）中，角频率的单位是弧度·秒-1（rad·s-1）。角频率ω与正弦量的周期T和频率f之间的关系是T1ff22、、T。频率f的单位为赫兹（Hz），简称赫。我国工业用电频率为50Hz，称为工频。it称为正弦量的相位角，简称为相位，是随时间变化的角度。i为t=0时的相位角，称为初相位角，简称初相。初相位的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即i;初相位值与计时零点有关。在工程上有时习惯以“度”为单位计量i，因此在计算中应注意将t与i变换成相同的单位。5.1.3正弦电流、电压的有效值和相位差交流电的大小和方向随时间变化，如果随意取值，不能反映它在电路中的实际效果，如果采用最大值，夸大交流电，需要一个数值能等效反映交流电做功的能力。因此在电工技术中，常用有效值来衡量正弦交流电的大小。有效值用大写字母表示，如I和U，与直流量的形式相同。交流电的有效值是根据它的热效应确定的。有效值的定义：以交流电流为例，当某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R时，如果在一个周期T内产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。正弦交流电流)sin(imtIi一个周期内在电阻R上产生的能量为TRdtiW02直流电流I在相同时间T内，在电阻R上产生的能量为RTIW2根据有效值的定义，有TRdtiRTI022于是得TdtiTI021（5-2）式（5-2）为有效值定义的数学表达式。适用于任何周期变化的电流、3电压及电动势。正弦电流的有效值等于其瞬时电流值i的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，所以有效值又称为均方根值。将正弦交流电流)sin(imtIi代入式（5-2）得TimdttITI022)(sin1=TimdttIT02)](2cos21[1mmII707.021（5-3）同理mmUUU707.021（5-4）正弦量的最大值与有效值之间有固定的2倍的关系。我们通常所说的交流电的数值都是指有效值。交流电压表、电流表的表盘读数及电气设备铭牌上所标的电压、电流也都是有效值。用有效值表示正弦电流的数学表达式为：)sin(2itIi【例5-1】一个正弦电压的初相角为45°，最大值为537V，角频率ω=314rad/s，试求它的有效值、解析式，并求t=0.03s时的瞬时值。解mU=537V，所以其有效值为2UmU=V3802537则电压的解析式为Vtu)4314sin(2380t=0.03s时，将t=0.03s代入上式得Vu2.16)403.0314sin(2380在分析和计算正弦电路时，电路中常引用“相位差”的概念描述两个同频率正弦量之间的相位关系，两个同频率正弦量相位之差，称为相位差。用4表示。例如：设电流、电压分别为)sin(imtIi，)sin(umtUu时，则电压与电流的相位差为iuiuuitt)()(（5-5）可见，同频率正弦量的相位差始终不变，它等于两个正弦量初相角之差。相位差也是在主值范围内取值。若ui0，则电压u超前电流i，大小为ui，见图5-2。若ui0，则电压u滞后电流i，-ui，见图5-3。若ui=0，则电压u与电流i同相位，见图5-4。若ui=±π，则称u与i反相，见图5-5。u,iuiOiφuu,ittiuφu,ittu,iuiOuitu,i0图5-2图5-3图5-4图5-5图5-65若ui=±2，则称u与i正交，见图5-6。当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们的初相角也随之改变，但两者之间的相位差却保持不变。对于两个频率不相同的正弦量，其相位差随时间而变化，不再是常量，需要指出只有两个同频率正弦量之间的相位差才有意义。【例5-2】有两个正弦电流分别为Vtti)35sin(2100)(1，Vtti)35sin(250)(2，问两个电流的相位关系如何?解70)35(352112(符合取值范围)即1i相位超前2i相位70°。5.2正弦交流电的相量表示5.2.1复数和常用的表示方法如图5-7所示，向量F复数代数表达示为jbaF，式中1j为虚单位（与数学中常用的i等同）。图中r表示复数的大小，称为复数的模，a、b为复数F的实部和虚部。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对值小于180°。图5-7复数坐标22bar，)arctan(ab（5-6）cosrasinrb由图可得复数的代数式jbaF转化为三角形式：F6)sin(cosjrF根据欧拉公式sincosje，将复数的三角形式转化为指数形式：jreF还有极坐标形式：rF实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数，用F*表示F的共轭复数，则有jbaF；jbaF。复数可以进行四则运算。两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数形式或极坐标形式来进行计算。如将两个复数11111rjbaF；22222rjbaF相除得)(2121221121rrrrFF（5-7）如将复数jreA1乘以另一个复数tje，则得)(2tjtjjreereA如两个复数进行加减运算时，用代数形式计算。例：111jbaF，222jbaF，则)()(212221bbaaFF。也可以按平行四边形法则在复平面上作图求得。如图5-8所示。【例5-3】计算解：5.2.2正弦量的相量表示方法正弦量的数学表达式)sin(imtIi，能准确表示任意时刻t正弦F1F2+jO+1图5-8?2510475)226.4063.9()657.341.3(2510475jj61.248.12569.047.12j7量的值，但两个同频率正弦量之间进行加、减运算时不方便，采用相量表示正弦量，可以使其运算得到简化。用复数形式表示的正弦量称为正弦量的相量表示形式，为了与一般的复数相区别在大写字母上打“·”表示。在三要素中，频率可以作为已知量，要确定电路中的电压或电流，只需把电压或电流的幅值和初相角两个要素用复数来描述。于是表示正弦电压)sin(tUum的相量为mmUU或UUmU—电压的幅值相量；U—电压的有效值相量。一般情况用有效值相量表示正弦量。相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示。相量之间的运算可用复数间的运算完成。如图5-9所示。图5-9相量图【例5-4】已知试用相量表示i，u。解：5.3单一元件伏安关系的相量表示5.3.1电阻元件伏安关系的相量形式1、电阻元件的电压与电流相量关系如图5-10（a）所示的电阻元件电路图5-10电阻元件伏安关系的相量形式当电阻元件流过正弦电流)sin(imRtIi时，稳态下的伏安关系为：)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oouti，V60220A30100ooUI8)sin(imRRtRIRiuRu和Ri是同频率的正弦量，其相量形式为RRIRU（5-8）或写成iRuRRIU（5-9）式（5-8）是电阻元件伏安关系的相量形式，由此我们可得出（1）RRRIU，即电阻电压有效值等于电流有效值乘以电阻值。（2）iu，即电阻上电压与电流同相位。2.电阻电路的功率在任一瞬间，电阻两端电压瞬时值与流过电流瞬时值的乘积称为瞬时功率，用小写字母p表示。波形如图5-11所示由瞬时功率的表达式及曲线图5-11可知，0p，表明电阻元件在除过零点的任一瞬间均从电源吸取能量，并将电能转化为热能，电阻元件是耗能元件。瞬时功率实用意义不大，通常电路的功率是指瞬时功率在一个周期的平均值，称为平均功率（也称有功功率），用p表示，即5.3.2.电感元件伏安关系的相量形式1、电感元件的电压与电流相量关系如图5-12（a）所示的电感元件电路，设)sin(imLtIi，在正弦Oppωt图5-11TiRdttIUTP0)]2cos(1[1RIIUR2)](2cos1[)(sinii2mmΨtωIUΨtωIUiupRRRR9稳态下伏安关系为：图5-12电感元件伏安关系的相量形式)90sin()sin(imimLLtLItLIdtdiLu其相量形式为mLIIiLLILjU（5-10）或写成)90(iLuLLIU（5-11）式（5-11）称为电感元件伏安关系的相量形式，由此我们可得出:LLLIU，电感元件的端电压有效值等于电流有效值、角频率和电感三者之积。90iu，电感上电压相位超前电流相位90°。图5-12（b）所示的电路给出了电感元件的端电压、电流相量形式的示意图，图5-12（c）所示的电路给出了电感元件的端电压与电流的相量图。由式（5-11），得LIULL，LUILL1记LXL，称之为电感元件的感抗，国际单位制（SI）中，其单位为欧姆（Ω）。LLXB/1称为感纳。感抗时用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。在电压一定的条件下，感抗越大，电路中的电流越小，其值正比与频率f。有两种特殊情况如下：10f→∞时，LXL→∞，LI→0。即电感元件对高频率的电流有极强的抑制作用，在极限情况下，它相当于开路。因此，在电子电路中，常用电感线圈作为高频扼流圈。f→0时，LXL→0，LU→0。即电感元件对于直流电流相当于短路。图5-13感抗随频率变化曲线图5-14感抗随频率变化的情况如图5-13所示曲线。一般地，电感元件具有通直流隔交流的作用。必须注意，感抗是电压、电流有效值之比，而不是它们的瞬时值之比。【例5-5】一个L=10mH的电感元件，其两端电压为ttusin100)(，当电源频率为50HZ与50kHZ时，求流过电感元件的电流I。解当f=50HZ时14.3101050223fLXL通过线圈的电流为AXUIL5.2214.312100当f=50kHZ时3140101010502233fLXL通过线圈的电流为mAXUIL5.22314012100可见，电感线圈能有效阻止高频电流通过。2.电感电路的功率假设电流的初相角i=0，瞬时功率的表达式：OtuCiPL储放储放11由表达式可见p是一个以2的角频率随时间交变的正弦量，其变化曲线如图5-14所示。在第一和第三个1／4周期内，p为正值，这表示电感从电源吸收电能并把它转换为电磁能储存起来。电感相当于负载。在第二和第四周期内，p为负值，表明电感将储存的磁场能转换为电能送还给电源，电感