重力模型

重力模型重力模型法（GravityMethod）模拟物理学中的牛顿的万有引力定律基本假定：交通区i到交通区j的交通分布量与交通区i的交通量、交通区j的交通吸引量成正比，与交通区i和j之间的交通阻抗参数，如两区中心间交通的距离、时间或费用等成反比。无约束重力模型Casey在1955年提出了如下重力模型，该模型也是最早出现的重力模型：2ijjidPPijqiPjPijd分别表示i小区和j小区的人口表示i，j小区之间的距离表示参数模型本身不满足交通守恒约束条件：(用出行费用函数来表示))(ijcf(用出行人数代替了总人数)改进的重力模型可表示为：)(ijjiijcfDkOq常见的交通阻抗函数有以下几种形式：幂函数：指数函数：组合函数：ijijccf)(ijcijecf)(ijcijijeckcf)(k为参数，根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定。例：按例3中表3和表4给出的现状OD表和将来发生与吸引交通量，以及表5和表6给出的现状和将来行驶时间，试利用重力模型和平均增长系数法，求出将来OD表。设定收敛标准为%1O/D123合计O/D123合计117.07.04.028.0138.627.038.06.051.0291.934.05.017.026.0336.0合计28.050.027.0105.0合计39.390.336.9166.5表3现状OD表（单位：万次）表4将来的发生与吸引交通量ijcijc12312317.017.022.014.09.011.0217.015.023.029.08.012.0322.023.07.0311.012.04.0表5现状行驶时间表6将来行驶时间解：（1）用下面的无约束重力模型：ijjicDOijt)(两边取对数，得)ln()ln(lnlnijjiijcDOtijtjiDOijc已知数据待标定参数ijtylnln0a1a2a)ln(1jiDOx)ln(2ijcx令：22110xaxaay则：a0,a1,a2为待定系数ijqjijiqOiijjqDjiDOijc)ln(ijqy)ln(jiDO1x)ln(ijc2x样本点（）()()i=1,j=117282878472.83326.66441.9459i=1,j=2728501400171.94597.24422.8332i=1,j=342827756221.38636.62803.0910i=2,j=1751281428171.94597.26402.8332i=2,j=23851502550153.63767.84382.7081i=2,j=3651271377231.79187.22773.1355i=3,j=142628728221.38636.59033.0910i=3,j=2526501300231.60947.17013.1355i=3,j=317262770272.83326.55391.9459通过表3和表5获取9个样本数据采用最小二乘法对这9个样本数据进行标定，得出0a1a2a=-2.084=1.173=-1.45521455.1173.1084.2xxy124.0173.1455.1455.1173.1)(124.0ijjicDOijt标定的重力模型为O/D123合计188.86272.45818.940180.260275.542237.91246.164359.619318.79143.93276.048138.771合计183.195354.302141.152678.650(2)第一次计算得到的OD表（3）通过无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代，这里采用平均增长系数法进行迭代计算。重新计算和1OiF1DjF2141.0260.180/6.38/1111OUFO0.2555359.619/9.91/2212OUFO0.2594138.771/0.36/3313OUFO0.2145183.195/3.39/1111DVFD0.2549354.302/3.90/2202DVFD0.2614141.152/9.36/3303DVFD计算结果如下面表所示Ui为表4最后一列的值；Vj为表4最后一行的值Oi为每次计算得到的OD表每一行的合计值；Dj为每次计算得到的OD表每一列的合计值2/)(*0001jiDOijijFFqqO/D123合计增长系数119.04616.9924.50440.5410.9521217.75560.71711.93390.4051.016534.45311.29719.80435.5541.0125合计41.25489.00536.241166.500增长系数0.95261.01451.0182用平均增长系数法第一次迭代计算OD表用平均增长系数法第三次迭代计算OD表O/D123合计增长系数117.82316.6844.43838.9460.9911217.12762.31812.29191.7361.001834.27611.54420.31036.1300.9964合计39.22690.54637.040166.812增长系数1.00190.99730.9962（1）根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定参数，将确定的参数代入模型，得到标定的重力模型——参数标定。（还有很多其他参数标定的方法）。（2）利用标定的重力模型计算得到ＯＤ表。（3）无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代。（例如：增长系数法等）（4）迭代完成后得到最终的ＯＤ表。重力计算步骤修正重力模型1.乌尔希斯重力模型jijjijjiijcfDcfDOq)(/)()(ijcf为交通阻抗函数,一般形式：ijijccf)(待定系数根据现状OD调查资料拟和确定，一般可采用试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标，通过用模型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。的计算过程如下：先假定一个值，利用现状OD统计资料所得的，以及代入模型中进行计算，所得出的计算交通分布称为GM分布。GM分布的平均行程时间采用下式计算：iOjDijciijijijjijqcqc)('GM分布与现状分布的每次运行的平均行程时间之间的相对误差为。当交通按GM分布与按实际分布每次运行的平均相对误差不大于某一限定值（常用3%）时，计算即可结束；当误差超过限定值时需改动待定系数，进行下一轮计算。调整方法为：如果GM分布的大于现状分布，可增大值；反之，则减小值。ccc''cc2.美国公路局重力模型（B.P.R.模型）jijijjijijjiijKcfDKcfDOq)()(式中，为调整系数(也叫地域间结合度)，其计算公式为：ijKijijijijijYYK1)1(其中，表示i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之比；表示i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行发生量之比。ijijY的计算方法为：ijK首先令=1，根据现状OD表标定模型，计算。ijK将现状数据代入模型，计算出OD分布。根据上面的公式计算。ijK假定的值在将来不发生变化，预测时不做任何修改而直接使用。ijK标定的方法与乌尔希斯重力模型相同。这两种模型均能满足出行产生约束条件，即：，因此都称为单约束重力模型。用上述两种重力模型进行交通分布预测时，首先是将预测的交通产生量和吸引量以及将来的交通阻抗参数带入模型进行计算。通常计算出的交通吸引量与给定的交通吸引量并不相同，因此需要进行进一步迭代计算。jijiqO为如下形式：)(ijjjiiijcfDbOat1)(jijjjicfDba1)(iijiijcfOab双约束重力模型jijjjijjijijcfDbcfDObt)()(ijijjjjijjjijjijjjijjijjijOcfDbcfDbOcfDbcfDObt)()())()((iijiiijjiiijcfOacfDOat)()(jiijiiiijiijiiijiiijjiiiijDcfOacfOaDcfOacfDOat)()())()((以幂指数交通阻抗函数为例介绍其计算方法：ijijccf)(第1步：令m=0，m为迭代次数；第2步：给出（可以用最小二乘法求出）；第3步：令，求出()；1miamjbiijimimjcOab/1第4步：求出和；1miaiijjmjmicDba/111mjbiijimimjcOab11/1第5步：收敛判定。若满足收敛条件，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第2步重新计算。1/11mimiaa1/11mimibb优点（1）直观上容易理解；（2）考虑路网的变化和土地利用对人们的出行产生的影响；（3）特定交通小区之间的OD交通量为零时，也能预测；（4）能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。缺点（1）缺乏对人的出行行为的分析；（2）将出行费用视为定值；（3）重力模型使用了同一时间段；（4）求内内交通量时的行驶时间难以给出；（5）交通小区之间的距离小时，有夸大预测的可能性；（6）必须借助于其它方法进行收敛计算。重力模型的特点