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海丰县实验中学第十六节函数与方程海丰县实验中学海丰县实验中学1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)零点存在的判定方法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得.f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(x0)＝0海丰县实验中学2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系海丰县实验中学3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)＜0一分为二零点海丰县实验中学1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？【提示】不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．海丰县实验中学2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0呢？【提示】不一定．如图所示，函数都有零点，但不连续或不满足f(a)·f(b)＜0.海丰县实验中学1．(教材改编题)如图所示的函数图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是()【解析】二分法适用于在[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0的情形．【答案】A海丰县实验中学2．(2011·福建高考改编)若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】依题意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.【答案】C海丰县实验中学3．(2011·课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)【解析】显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不间断，又f(12)＝e－1＞0，f(14)＝4e－2＜0.∴由零点存在定理知，f(x)在(14，12)内存在零点．【答案】C海丰县实验中学由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________．(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)【解析】∵f(1.438)·f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4.【答案】1.4海丰县实验中学(2011·陕西高考)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点海丰县实验中学若将例题中函数“f(x)＝x－cosx”改为“f(x)＝log2xx＞03xx≤0”且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是________．【解析】由f(x)＋x－a＝0，得f(x)＝－x＋a，令g(x)＝－x＋a，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示．从图象可知，当a＞1时，两函数图象有且只有一个交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)海丰县实验中学例2设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，∴b2－4a(b－1)＞0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a＞0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)＜0⇒a2－a＜0，∴a2－a＜0，解之得0＜a＜1，因此实数a的取值范围是(0,1).海丰县实验中学1．(2012·潮州调研)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】①x≤0时，f(x)＝0，即x2＋2x－3＝0，∴x＝－3(x＝1舍去)．②x＞0时，f(x)＝0，即－2＋lnx＝0，∴x＝e2.【答案】C海丰县实验中学2．若函数y＝lnx与y＝2x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为()A．(1,2)B．(2,3)C．(e,3)D．(e，＋∞)【解析】令f(x)＝lnx－2x(x＞0)，因为f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，又函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴函数y＝f(x)的唯一零点x0∈(2,3)．【答案】B