二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法问题：1、什么是二元一次方程？2、什么是二元一次方程组？3、什么是二元一次方程组的解？4、什么是二元一次方程的解集设问置疑二元一次方程组的有哪些解题方法？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消除这个未知数，得到一个一元一次方程，这种球二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法。1、代入消元法在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将其中一个未知数用含有另外一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。2、加减消元法解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。所以方程中必须有“两元”，每一“元”只能是“一次”例1：方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值为（）A:a≠0B:a≠-1C：a≠1D:a≠2答案选C变式题1：如果（a-2）x+(b+1)y=13是关于x,y的二元一次方程，则a,b满足什么条件？学习要点一：深刻理解二元一次方程的概念例2：例2：若二元一次方程3x-2y=1有正整数解，则x的取值应为（）A:正奇数B：正偶数C：正奇数或正偶数D：0答案：A学习要点二：深刻理解二元一次方程的解答案：满足，不一定学习要点三：二元一次方程的解题技巧解题思路：根据方程组的定义，把x=2,y=1代入方程组，转化为关于a,b的方程组，解出a和b的值，问题就解决了。答案：a+b=3例4:4x+1=m(x-2)+n(x-5),则m，n的值是（）。解题思路：将此方程变形为：4x+1=(m+n)x-(2m+5n),这样，我们知道等式左右两边相等，只需要含有未知数X的系数相等，常数相等即可，即4=m+n,1=-(2m+5n),解这个方程组就可以得到m和n的值变式题3：二元一次方程x+y=5的正整数解有（）答案：a=4,b=5,c=-2（答案：2）解法一：原方程化为：𝟓𝒙+𝒚=𝟏𝟏𝒙+𝟏𝟏𝒚=𝟏𝟑,解得𝒙=𝟐𝒚=𝟏例8：解方程组：3x+y+2x−y=116𝑥+𝑦−5𝑥−5=13解题思路：此题有两种解法，一是把方程组加以整理，化为关于x,y的二元一次方程组；另外一种解法是将（x+y）看成m,(x-y)看着n，求出m,n后再求x,y,这是一种换元法。换元法是一种重要的数学方法，通过还原，使方程或方程组转换为较为简单的形式，从而化难为简，化繁为简。解法二：设(x+y)=m,(x-y)=n,原方程组变为：𝟑𝒎+𝟐𝒏=𝟏𝟏𝟔𝒎−𝟓𝒏=𝟏𝟑,解得：𝒎=𝟑𝒏=𝟏则：𝒙+𝒚=𝟑𝒙−𝒚=𝟏解得：𝒙=𝟐𝒚=𝟏解：设设𝟏𝒙=m,𝟏𝒚=n，原方程组变为：𝟒𝒎+𝟑𝒏=𝟏𝟎𝟗𝒎−𝟕𝒏=−𝟓解得:m=1,n=2即：𝟏𝒙=𝟏𝟏𝒚=𝟐,所以x=1.,y=𝟏𝟐变式题1：解方程组：4𝑥+3𝑦=109𝑥−7𝑦=−5解题思路：这种方程组称为分式方程组，以后还会进一步学习，通过换元法，化繁为简。如果采用常规的区分母的方法去解，将会出现xy这些项，从而加大解题难度。如果我们把方程组看成4×1𝑥+3×1𝑦=109×1𝑥−7×1𝑦=−5，再设1𝑥=m,1𝑦=n进行换元,则将方程组化为整式方程组去解。解题思路：因为y的系数绝对值是1，所以用代入消元法解较为容易。解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度。例题9：解方程组3𝑥+2𝑦=52𝑥−𝑦=8答案为：x=3,y=-2例题10：已知x−3y+7z=0①x−2y+4z=0②（xyz≠0）,则x:y:z=()解法一：(1)-(2)左右各相减。得：-y+3z=0移项得：y=3z..............(3)代入(1)或(2)可得：x=2z解法二：令x=2那么：2=3y-7z1=y-2z解得：y=3;z=1所以x:y:z=2:3:1练习题1.𝒙+𝟒𝒚=𝟏𝟒𝒙−𝟑𝟒−𝒚−𝟑𝟑=𝟏𝟏𝟐答案：𝑥=3𝑦=1142.已知关于x,y的二元一次方程组𝟐𝒙+𝒚=𝟔𝒎𝟑𝒙−𝟐𝒚=𝟐𝒎的解满足二元一次方程𝒙𝟑-𝒚𝟓=4,求m的值。答案：x=1,y=4,m=153.当a为何整数值时，方程组𝟐𝒙+𝒂𝒚=𝟏𝟔𝒙−𝟐𝒚=𝟎有正整数解。4.已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐𝒙𝒚+𝒚𝒛+𝒛𝒙的值。设：3x−4y−z=0，(1)2x+y−8z=0(2)（2）式×4+(1)式，可以得到X=3Z代入(2)式,可以得到Y=2Z所求比值为:9+4+1/6+2+3=14/115.在解关于x,y的方程组𝒎+𝟏𝒙−𝟑𝒏+𝟐𝒚=𝟖①𝟓−𝒏𝒙+𝒎𝒚=𝟏𝟏②可以用①×𝟐+②消去x;也可以用①+②×𝟓消去未知数y;求m,n的值。6.已知𝟒𝒙−𝟓𝒚+𝟐𝒛=𝟎𝒙+𝟒𝒚−𝟑𝒛=𝟎(xyz≠𝟎),则x:y:z=()7.已知x+2y+3z=54,3x+y+2z=47,2x+3y+z=31,那么代数式x+y+z的值是（）8.已知𝟑𝒙𝟐𝒂+𝒃−𝟑-𝟓𝒚𝟑𝒂−𝟐𝒃+𝟐=-1是关于x,y的二元一次方程，则(𝒂+𝒃)𝒃=()9.写出2x+3y=12的所有非负整数解（）10.已知𝟑𝐚−𝐛𝟑=𝟐𝐚+𝐜𝟓=𝟐𝐛+𝐜𝟕，则a:b:c=()11.已知𝒙=𝒎𝒚=𝒏和𝒙=𝒏𝒚=𝒎是方程2x-3y=1的解，则代数式𝟐𝒎−𝟔𝟑𝒏−𝟓的值是（）12.已知有理数x,y,z满足|x-z-2|+|3x-6y-7|+(𝟑𝐲+𝟑𝒛−𝟒)𝟐=0,求𝒙𝟑𝒏𝒚𝟑𝒏−𝟏𝒛𝟑𝒏+𝟏=()13.若4x+5y=10,且5x+4y=8,则𝐱+𝒚𝒙−𝒚=（）解：由①+②得到：9x+9y=18,那么：x+y=2由②-①得到：x-y=-214.若3x-4y=0,且xy≠𝟎，则𝟑𝒙−𝟓𝒚𝟑𝒙+𝟓𝒚=()解：由于3x-4y=0,所以3x=4y,代入𝟑𝒙−𝟓𝒚𝟑𝒙+𝟓𝒚，则得到答案解：𝟐𝒙−𝟑𝒚+𝟒𝒛=𝟓①𝟑𝒙−𝟐𝒚+𝟓𝒛=−𝟏②由②-①得到：x+y+z=-615.已知2𝑥−3𝑦+4𝑧=53𝑥−2𝑦+5𝑧=−1，则可以得到x+y+y的值为解题思路：此题若看作是关于x,y的二元一次方程组，先求x,y的值，再代入计算，那就非常繁琐。若巧妙运用加减法，就会收到奇效。解：因为4x+3y+5=0所以：4x+3y=-5而3(8y-x)-5(x+6y-2)=-8x-6y+10=-2(4x+3y)+10=-2×−5+10=2016.若4x+3y+5=0,则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值是（）解题思路：通过观察审题容易知道，先将3（8y-x）-5（x+6y-2）化简得到：-8x-6y+10,再利用整体代入法求解。17.若5x-6y=0，且xy≠0,则5𝑥−4𝑦5𝑥−3𝑦的值等于（）18.若3𝑥2𝑛−1𝑦𝑚和-5𝑥𝑚𝑦3是同类项，则m,n的取值是（）19.若关于x,y的二元一次方程组𝑥+𝑦=5𝑘𝑥−𝑦=9𝑘的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）20.若方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑠的解是𝑥=3𝑦=4,那么方程组3𝑎𝑥+2𝑏𝑦=5𝑐3𝑚𝑥+2𝑛𝑦=5𝑠有解吗？甲同学说条件不够，不能求解；乙同学说他们的系数有一定的关系，可以试试；丙同学说可以把第二个方程组的两个方程的两边同时除以5，通过换元替代法来解决。你怎么认为？小结1、代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）给原方程编号（2）写明关键步骤（3）代入后，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值（4）将求出的未知数的值代入系数较简单的方程，求另一个未知数的值（5）用大括号将结果写出2、代入消元法的基本思路：消元、转化