立体几何初步解析与运用练习

选校网．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质三垂线定理垂直斜交直线与平面所成的角空间直线与平面空间两个平面棱柱棱锥球两个平面平行两个平面相交距离两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质综合应用多面体面积公式体积公式正多面体知识网络考纲导读高考导航选校网关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．第1课时平面的基本性质公理1如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是(证明多点共线的依据)．公理3经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条直线，有且只有一个平面．推论3经过两条直线，有且只有一个平面．例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．求证：点C1、O、M共线．证明：A1A∥CC1确定平面A1CA1C面A1CO∈面A1CO∈A1C面BC1D∩直线A1C＝OO∈面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上∴C1、O、M共线变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．提示：反证法．例2.已知直线l与三条平行线a、b、c都相交．求证：l与a、b、c共面．证明：设a∩l＝Ab∩l＝Bc∩l＝Ca∥ba、b确定平面αlβA∈a,B∈bb∥cb、c确定平面β同理可证lβ所以α、β均过相交直线b、lα、β重合cαa、b、c、l共面变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．典型例题基础过关CODABMB1C1D1A1选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．∴P、Q、R共线，共线于直线l．例3.若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；(2)如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1)∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内(2)设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：(1)E、C．D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)连结A1B则EF∥A1BA1B∥D1C∴EF∥D1C∴E、F、D1、C四点共面(2)面D1A∩面CA＝DA∴EF∥D1C且EF＝21D1C∴D1F与CE相交又D1F面D1A，CE面AC∴D1F与CE的交点必在DA上∴CE、D1F、DA三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α又a∩d＝A∴点A∈α∴直线aα同理可证：b、cα∴a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点∵a∩b＝Q∴a与b可确定一个平面β又c∩b＝E∴E∈β同理c∩a＝F∴F∈β∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上∴cβ同理可证：dβ故a、b、c、d共面OC1B1A1ABCABECDFA1B1C1D1选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库由(1)(2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知AC,BD.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．第2课时空间直线1．空间两条直线的位置关系为、、．2．相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，异面直线：不同在任平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在的长度，叫两异面直线的距离．例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离．证明：(1)连结CE、DEBEAEBDADBCACDEABCEABAB⊥面CDE∴AB⊥EF同理CD⊥EF∴EF是AB和CD的公垂线(2)△ECD中，EC＝422ba＝ED∴EF＝222ba基础过关典型例题AEBCFD小结归纳基础过关选校网：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝3FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。例2.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN∴∠QNB＝arccos510变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．(1)求异面直线SC和AB的距离；(2)求异面直线SA和EF所成角．答案：(1)a22(2)45°例3.如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点．(1)求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；(2)判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．解：(1)D1P与AM成90°的角CN与AM所成角为arccos52.(2)是．NP是其公垂线段,D1P与AN的距离为1.变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝B1M＝6，cos∠GNA＝1030562556。ACBNMA1C1B1BMANCSPC1D1MB1A1DNCBA选校网．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．（1）证明：∵EF∥CDAM∥CD∴AM∥EF，又AM＝EF∴AMFE为平行四边形∵AB⊥PA，AB⊥AD∴AB⊥面PAD∴AB⊥AE，又AE∥MF，∴AB⊥MF又∵AE⊥PDCD⊥AE∴AE⊥面PCD∴AE⊥PC∴MF⊥PC∴MF为AB与PC的公垂线．(2)设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得AE＝(0，109，103)，AB＝(1，0，0)面MFEA的法向量为k＝(0，1，－3)，AC＝(1，1，0)，cosAC，k＝105．∴AC与面EAM所成的角为2－arccos105，其正弦值为105．变式训练4：如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．（１）证明FDAD1；（２）求AE与FD1所成的角。（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1又DF1DC1，所以AD⊥D1F.（2）取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,