立体几何高三第一轮复习(含知识点)

立体几何知识点梳理一、空间几何体1。多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。正四面体的高a36（正方体体对角线l32）正四面体的体积为3122a（正方体小三棱锥正方体VVV314）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：ll2161）外接球的半径为a46（是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l21）内切球的半径为a126（是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l61）正四面体：4。棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5。旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式Rl7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)球的截面性质:球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：222drR球面距离：例题1：把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A、B两点间的球面距离为_____________例题2：三棱锥O-ABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______,外接球体积为_____________.例题3：已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O到平面ABC的距离为（）A.31B.33C.32D.36例题4：已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A.9π16B.3π8C.4πD.9π64内切球和外接球：例题1：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123例题2：正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9例题3：（2012新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22例题4：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）、三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）；俯视图（从上向下正投影）．例题：某四棱锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为．（3）、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：①斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成45角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不变；③原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半．常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22：1．9、特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）：chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧'21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积')(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表S球面=24R10、柱体、锥体、台体和球的体积公式：VSh柱2VShrh圆柱13VSh锥hrV231圆锥''1()3VSSSSh台''2211()()33VSSSShrrRRh圆台V球=343R例题1:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S正视图侧视图俯视图1112（3题图）例题2：右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的是（）[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学_科_网]二、典型例题：例1.（2007湖北文）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A.3B.22C.32D.55例2..(2003北京文、理)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()A．2B．23C．332D．21例4。(2008海南、宁夏文、理)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为_____.三、基础训练：1．(2008广东文、理)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()2．(2008全国Ⅱ卷文、理)已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．23.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）（A）433(B)33(C)43(D)1234．（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）DCBA主视图俯视图左视图俯视图主视图左视图左视图主视图俯视图左视图俯视图主视图正前方PDCBAA．①②B．①③C．①④D．②④5．(2007海南、宁夏文)已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，2ACr，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．πＢ．2πＣ．3πＤ．4π6.(2008四川文)设M是球心O的半径OP的中点，分别过,MO作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：()（Ａ）41（Ｂ）12（Ｃ）23（Ｄ）347.(2007四川文、理)如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.四、巩固练习：1。(2008福建文、理)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A.63B.265C.155D.1053，则2．(2001全国文，广东)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为这个圆锥的全面积是（）（A）3（B）33（C）6（D）93、（2006全国Ⅰ卷文、理）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16B．20C．24D．324.（2002广东、河南、江苏,全国文、理）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是()A.34B.45C.35D.－355．(2008四川理)设,MN是球心O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过,,NMO作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：()（Ａ）3,5,6（Ｂ）3,6,8（Ｃ）5,7,9（Ｄ）5,8,9①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥6.(2008福建文、理)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.7．（2007辽宁文、理）若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为二空间直线和平面立体几何点线面的位置关系1,、线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）垂直于同一平面的两直线平行。2.、线线垂直的判断：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的判断：（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。练习1：如图,在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形,O是AC的中点，D是AB的中点．(Ⅰ)求证：ＯＤ//平面ＳＢＣ；(Ⅱ)求证:SO⊥AB.练习2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆MN∥平面BCE新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆_H_M_N_F_E_D_C_B_ACBAOSD4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。5、面面平行的判断：（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。6、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。练习1、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O∥面11ABD；（2）1AC面11ABD．2、已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：EF⊥CD；3．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，