高等数学定积分的换元积分法

1复习6.微积分基本公式4.积分上限函数xattfxd)()(5.积分上限函数的导数])([)(xattfxd1.定积分定义xxfbad)(iniixf10)(lim2.定积分的思想和方法：分割,近似,取和,求极限.).()()(aFbFxfbadx)(xf牛顿---莱布尼兹公式.3.定积分的值与积分变量使用的字母无关.xxfbad)(ttfbad)(uufbad)(2实例1：求曲边梯形的面积.一、问题的提出4-1定积分的概念(1)曲边梯形定义：条直线x=a,由一条连续曲线)(xfy)0)((xf和三xoyab)(xfybaoy)(xfyxx=b,y=0所围成的封闭图形.xyo)(xfyab3(2)求曲边梯形面积的意义：xoyxoyxoy由平面曲线所围成的平面图形的面积都可以转化为曲边梯形面积的代数和.abab(3)求由连续函数)(xfy)0)((xf和三条直线x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积.ab4用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:（四个小矩形）（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积．小矩形越多，abxyoabxyo5曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxanniiixfA)((1)分割：，],[1iixx把区间[a,b]分成n个小区间;1iiixxx长度为在每个小区间],[1iixx，i上任取一点以],[1iixx为底，)(if为iixf)(高的小矩形面积为则abxyoix1x1ix1nxi在区间[a,b]内插入若干个分点，(2)近似：6iniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10曲边梯形面积为:以上做法的步骤:当分割的无限细密，即最大的小区间的长度},,,max{21nxxx趋于零时，分割,求近似,取和,求极限.(3)作和式：(4)取极限：abxyoix1x1ix1nxi7实例2：求变速直线运动的路程.思路：设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且，0)(tv求物体在这段时间内所经过的路程.路程的精确值的近似值，看作不变，把整段时间分割成若干小段，每小段上速度便得到路程求出各小段的路程再相加，最后通过对时间的无限细分过程求得8(1)分割212101TtttttTnn1iiittt)(iv部分路程近似值(3)求和iinitvs)(1(4)取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值t1ititiit(2)近似itis而曲边梯形面积iniixfA)(lim109bxxxxxann1210二.定积分的定义定义在],[ba中任意插入若干个分点把区间各小区间的长度依次为,1iiixxx，),,2,1(ni在各小区间上任取一点),(iiix作乘积iixf)(iniixfS)(1，),,2,1(ni并作和记，nxxx,,,max21怎样的分法，也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I设函数)(xf在上有界，],[ba分成n个小区间，],[ba如果不论对区间],[ba10被积函数被积表达式积分变量：],[ba记为积分上限积分下限积分和我们称这个极限iniixfI)(lim10为函数)(xf在区间积分区间dxbaxf)(iniixf10)(limbaxf)(dx.上的定积分，],[ba简称：积分11注意：iniitvs)(lim10iniixfA)(lim10(5)是一个确定的常数.(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.(2)积分值与被积函数及积分区间有关，使用的字母无关.baxf)(dxbatf)(dtbauf)(du21)(TTtvdtbaxf)(dx.baxf)(dx(1)而与积分变量i的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程12闭区间上的有界单调函数可积.以上定理的证明省略,只要求记住结论.定理1当函数)(xf在区间],[ba上连续时，称)(xf定理2且只有有限个间断点，定理3三.存在定理即baxf)(dx存在.在区间上可积.],[ba设函数)(xf在区间上有界，],[ba则)(xf在区间上可积.],[ba13曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四.定积分的几何意义abxyoA)(xfyabxyoA)(xfybaxf)(dxbaxf)(dx1.0)(xf当时，A2.0)(xf当时，3.当)(xf在[a,b]上有正有负时，baxf)(dx表示各部分面积的代数和.A4321)(AAAAxfbadxoab14即它是介于x轴、函数)(xf的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：baxf)(dx4.4321)(AAAAxfbadxab15对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，一.基本内容五.定积分的性质(1)当a=b时,；0)(baxfdx(1)当ab时,abbaxfxf)()(dx.dx且不考虑积分上下限的大小．即；0)(aaxfdx16证iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1baxgxf)]()([dxbaxf)(dxbaxg)(dxdxbaxgxf)]()([dxdxbabaxgxf)()(17证iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10性质2性质1.2称为定积分的线性性质.baxkf)(dxbaxfk)(dx.baxkf)(dxdxbaxfk)((k为常数)18若,cba定积分对于积分区间具有可加性则性质3abxyobaxf)(dxbccaxfxf)()(dxdx.caxf)(dxcbbaxfxf)()(dxdxbaxf)(dxcbcaxfxf)()(dxdxbccaxfxf)()(dxdx若,bca(定积分的可加性)证由定义ibaixf)(],[当0时，baxf)(dxbccaxfxf)()(dxdx.icaixf)(],[ibcixf)(],[)(xfyc得19证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10性质4性质5.abbadxba1dx如果在区间ba,上,0)(xf则,0)(baxfdx)(baoyxab)(xfAoyxab11)(xf.0)(baxfdx20性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxgoyxab)(xf)(xg则)(ba(1)如果在区间ba,上),()(xgxfbabaxgxf)()(dxdx.,0)()(babaxfxgdxdx,0)]()([baxfxgdx于是：babaxgxf)()(dxdx.21解,xex＞]0,2[x于是例1比较积分值20xedx和20xdx的大小.02xedx20xedx.103102的大小与比较xxdxdxdx02xdx20x22)(ba证,)()()(xfxfxf性质5的推论：(2)bababaxfxfxf)()()(dxdxdxbabaxfxf)()(dxdxbabaxfxf)()(dxdx.即23证,)(Mxfm(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6abxyo)(xfymM)(ba则设M及m分别是函数)(xf在区间[a,b]上的最大值及最小值，),()()(abMxfabmbadxbababaMxfm)(dxdxdx).()()(abMxfabmbadx(估值定理)24解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x003031sin3141xdxdxdx.3sin31403xdx例2估计积分03sin31x的值.dx25证由闭区间上连续函数的介值定理知，性质7积分中值公式如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，则在积分区间ba,上至少存在一点，使)(ba上至少存在一点，使在ba,即)()()(abMxfabmbadxMxfabmba)(1dxbaxfabf)(1)(dx.baabfxf))(()(dxbaabfxf))(()(dx(定积分中值定理)26积分中值公式的几何解释：baabfxf))(()(dx在区间[a,b]上至少存在一个点，使得以区间[a,b]为底边，以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边，而高为)(f的一个矩形的面积.xyoab)(f27六、小结１．定积分的定义：3．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分以不变代变.取极限baxf)(dxiniixf10)(lim2．定积分的实质：特殊和式的极限．近似以直代曲284．定积分的性质：(注意估值性质、积分中值定理的应用)5．典型问题(1)估计积分值；(2)不计算定积分比较积分大小．作业:理解并熟记概念和性质预习P204~211线性性质，可加性，大小比较，估值定理，定积分中值定理.29解xxd11ttd)122(Ctt1ln22)1ln24()2ln26(94d11xx]1ln22[xxCxx1ln22例如.d1194xx计算,tx令,2tx则.d2dttxtttd12.2ln2294).()()(aFbFxfbadx30]1ln22[ttx49t23另解.d1194xx94d11xx,tx令,2tx则.d2dttxtttd12)1ln24()2ln26(.2ln223223315-3定积分的换元法一、换元公式则有：定理假设)(xf在区间],[ba(1)函数上连续；(2)函数)(tx在区间],[上单值的且有连续的导数；(3)当t在区间],[上变化时，)(tx的值在区间],[ba上变化时，且,)(a,)(btttfxxfbad)()]([d)(32证)(d)]([d)()]([ttftttftttfd)()]([tttfd)()]([).()(aFbF证毕，CxFxxf)()(d设,)(a,)(b注意：换元公式仍然成立.当时，(1)上限与上限对应，(3)(2)换元的同时应换限.下限与下限对应.),()()(aFbFxxfbad则)],([)]([FF.)]([CtF对ab仍成立.33解例1计算.121022xxxdttdsin602602sin412tt.831