79全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习全等三角形知识点梳理一基本概念1、全等的理解：全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形（2）大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)（边边边）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（角边角）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（角角边）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)（边角边）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二、灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找（边）@夹边相等（ASA）@任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中两边对应相等，可找（角或边）@夹角相等（SAS）@第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找（角或边）@任一组角相等(AAS或ASA)@夹等角的另一组边相等(SAS)[知识要点]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．2．证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。（二）实例点拨例1（2010淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：证明：∵点C是线段AB的中点∴AC=BC∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCEEBCAD即∠ACE=∠BCD在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。例2已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下：证明：在△ABE和△ACE中AB=AC，EB=EC，AE=AE∴△ABE≌△ACE(SSS)∴∠BAE＝∠CAE在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)∴BD=CD反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。例3.（2009·洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE.【证明】∵AC∥DF，∴FC在中和DFEACBEFBCFCDFAC中和DFEACB≌中和DFEACB，∴AB=DE.17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，3412DAAB，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90oAD=2,∴AF=3,DF=1,由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=13.ACBDEFG1423例4、（2009·吉林中考）如图，,ABACADBCDADAEABDAEDEF于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADBADC△≌△、ABDABE△≌△、AFDAFE△≌△、BFDBFE△≌△、ABEACD△≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB≌ADC为例证明．证明：,90ADBCADBADC°.在RtADB△和RtADC△中，,,ABACADADRtADB△≌RtADC△.要点二、角平分线的性质与应用例5、（2009·温州中考）如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A.PAPBB.PO平分APBC.OAOBD.AB垂直平分OP【解析】选D.由OP平分AOB，PAOA，PBOB，可得PAPB，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，所以可得PO平分APB，OAOB.例6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得68102222BCBDCD,由角平分线性质得6CDDE答案：6.【实弹射击】1、如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB≌△ADC。2、如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.①△ADE≌△CBF②∠A=∠CCABDE第1题图OACDB第2题图ADBCFE第3题图4、已知：BECF在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。求证：△ABC≌△DEF5、如图,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求证：AC=EF．6、如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）∠DBH=∠DAC；（2）ΔBDH≌ΔADC。FEDCBA第4题图FGEDCBAABCDEH7、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。8、如图：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求证：AE⊥BE。9、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG⊥于E，BFDE∥，交AG于F．求证：AFBFEF．DCBAEFGADBCE