State-Space-Model-状态空间模型

Chapter2StateSpaceModel2现代控制理论基础讲义龚道雄本章要点理解控制系统的状态空间表示法的概念，对系统的完全描述。状态状态空间状态空间模型线性系统时不变系统——线性时不变系统状态空间模型建立状态空间模型(例子)掌握系统数学模型之间的转换，即状态空间表达式与微分方程、传递函数、方块图之间的相互转换。◙了解这些不同模型之间的关系。3现代控制理论基础讲义龚道雄本章要点熟悉系统的状态空间和状态变量图示法；状态空间模型的标准型对角标准型约当标准型模态标准型传递函数矩阵定义状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵线性时不变系统的几种描述方式微分方程状态空间传递函数脉冲响应目录一、状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型五、状态空间模型的标准型一、状态空间模型有关状态、状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是现代控制理论中状态空间分析的基础。状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题和系统辨识的基础。因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。7现代控制理论基础讲义龚道雄uHV一、状态空间模型小车-倒立摆例子8现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型小车-倒立摆例子22dxMuHdt小车的水平运动：2222(sin)(cos)dmxlHdtdmlVmgdt摆重心的水平运动：摆重心的垂直运动：22sincosdIVlHldt摆绕重心的转动：uHV9现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型22222222(sin)(cos)sincosdxMuHdtdmxlHdtdmlVmgdtdIVlHldt简化:假设很小()0MxuHmxlHVmgIVlHl2()()MmxmluImlmlxmgl1221211()()xmlgImluMmmglmlu2ImlmlmlMm10现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型用一阶微分方程组表示系统模型！引入新的变量1234xxxxxx1221211()()xmlgImluMmmglmlu121221223341143{}{()}{()}{}xxxmlgxImluxxxMmmglxmlu,,yy小车状态：摆的状态：11现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型12现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型回顾：线性方程组的矩阵表示：11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，12nxxxx，12mbbbb则Axb13现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型质量—弹簧—阻尼模型14现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型质量—弹簧—阻尼模型００15现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型小车-倒立摆121221223341143{}{()}{()}{}xxxmlgxImluxxxMmmglxmlu16现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型小车-倒立摆121221223341143{}{()}{()}{}xxxmlgxImluxxxMmmglxmlu13xyx12212110100000{}0{()}0001000{()}0{}10000010mlgImlxxuMmmglmlyx向量表示17现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型112121223111323:()()2312()()()()0()()()()()()()0CCCRLCututitutititutRitutditututLRitdt如图有源电路，稳压源和恒流源为输入，电感上的电压为输出，求系统的表达式。：网络有个节点，个回路，可得个节点方程，个回路方程：例解+u1_R1C1u2R2C2L+uL_i3i2i11221332()()()()()()CCLdutitCdtdutdititCutLdtdt其中，，，18现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型12322211122212221221122212()()():()()(1)(1)()()(1)(1)LLitititUsLCsUsRCsLCsRCsRCsUsRLCsUsRCsLCsRCsRCs消去中间变量，，，得19现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型11123311111111122223323()(),()(),()(),11011()()()1()00()00()()()0011()()CCxtutxtutxtitRCCRCCxtxtutxtxtutCxtxtRLLLytLxt取状态变量为则1223()11()()xtRxtxt20现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型基本概念,,摆的状态：小车状态：xx算命，诊断，预言state21现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型基本概念xxxx倒立摆小车系统状态向量：22现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型关于状态变量的选择：在物理系统中，一般选择系统中储能元件上与储能有关的参量，如电感中的电流、电容上的电压、电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数。有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的线性组合作为状态变量。对于诸如社会经济系统、生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确的物理意义。23现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型状态变量的个数为n，即系统的最大线性无关组。状态变量的个数等于系统的阶数，即系统最大线性无关组的个数，是一个固定值。状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态）来描述系统的，是系统的一种完全描述。TheinternaldescriptionState-spacedescription24现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；25现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型基本概念1x1x2x图：2维状态空间及状态轨迹state-space26现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型对于n阶系统，输入量为m个，输出量为r个，则有：（1）输入变量与状态变量之间的一阶微分方程组称为状态方程;（2）输出变量与状态变量、输入变量之间的代数表达式称为输出方程.（3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。xAxBuyCxDu:状态空间表达式的结构图为27现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型B∫CDA++xuxy++重点：定常线性系统！xAxBuyCxDu28现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型12,,,nxxx1muu1ryy动力学部件输出部件状态空间模型：状态方程输出方程nmrxuyRRRxAxBuyCxDu29现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型30现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型1111ABCDnmnn×nnn×mnmrr×nrr×m31现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型状态空间表达式与传递函数表示的比较信号表示的不同传递函数为频域信号状态空间模型为时域信号反映系统的信息不同传递函数只描述输入输出信息状态空间模型还描述系统内部状态信息xAxBuyCxDu32现代控制理论基础讲义龚道雄一、状态空间模型状态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法可以描述系统内部，所以称之为全面描述。传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端口描述。状态方程描述了系统状态的运动：输入状态输出是状态的线性组合：状态输出xAxBuyCxDu一、状态空间模型状态空间模型()Dt()At()Ct()Bt()ut()xt()xt()yt状态空间模型框图()()()()xAtxBtuyCtxDtu时变线性系统xAxBuyCxDu时不变线性系统状态方程：输出方程：二、微分方程描述与状态空间模型微分方程描述()(1)110()(1)110()()nnnmmmmkkkyayayaybubububupypuddppdtdt11101110()()nnnmmmmppapapapbpbpbpbTheinput-outputorexternaldescription二、微分方程描述与状态空间模型微分方程描述转化为状态空间模型算法1)(nmybybybyuyayayaymmnnn~'~~~'~~~01)(01)1(1)(()1()()()pyupuypp()()pypu36现代控制理论基础讲义龚道雄二、微分方程描述与状态空间模型()()BsAs()Us()Ys1()As()Us()Ys()Ys()Bs()Ys1()()()()()()YsUsAsYsBsYs引入中间变量二、微分方程描述与状态空间模型1211012210121mmnnnnnxbxbxbyuxaxaxaxxxxx)1(21~,,'~,~nnyxyxyx二、微分方程描述与状态空间模型101100100nnmxxuaaaybbxI0xAxBuyCxDu1211012210121mmnnnnnxbxbxbyuxaxaxaxxxxx二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型41现代控制理论基础讲义龚道雄二、微分方程描述与状态空间模型012012()3()2()()()2()()1,23,1,2,1,0100()001()0()1231()[121]()ytytytytutututaaabbbxtxtutytxt例:已知系统的微分方程模型为求系统的状态空间表达式。解：==,====套用公式得42现代控制理论基础讲义龚道雄二、微分方程描述与状态空间模型MATLAB:tf函数和ss函数num=[121];den=[1321];G=tf(num,den);Gss=ss(G)a=x1x2x3x1-3-0.5-0.25x2400x3010b=u1x11x20x30c=x1x2x3y110.50.25d=u1y