1992考研数三真题及解析

Borntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设商品的需求函数为1005QP,其中,QP分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2)级数21(2)4nnnxn的收敛域为_________.(3)交换积分次序2120(,)yydyfxydx_________.(4)设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且0,,0AAaBbCB,则C________.(5)将,,,,,,CCEEINS等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设2()()xaxFxftdtxa,其中()fx为连续函数,则lim()xaFx等于()(A)2a(B)2()afa(C)0(D)不存在(2)当0x时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A)2x(B)1cosx(C)211x(D)tanxx(3)设A为mn矩阵,齐次线性方程组0Ax仅有零解的充分条件是()(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关(4)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则()(A)()()()1PCPAPB(B)()()()1PCPAPB(C)()()PCPAB(D)()()PCPAB(5)设n个随机变量12,,,nXXX独立同分布,2111(),,niiDXXXnBorntowin2211()1niiSXXn,则()(A)S是的无偏估计量(B)S是的最大似然估计量(C)S是的相合估计量(即一致估计量)(D)S与X相互独立三、(本题满分5分)设函数lncos(1),1,1sin()21,1.xxxfxx问函数()fx在1x处是否连续?若不连续,修改函数在1x处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算arccot.xxeIdxe五、(本题满分5分)设sin()(,)xzxyxy,求2zxy,其中(,)uv有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数()fx,使它满足20()2()xfxftdtx.七、(本题满分6分)求证:当1x时,212arctanarccos214xxx.八、(本题满分9分)设曲线方程(0)xyex.(1)把曲线xye,x轴,y轴和直线(0)x所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V;求满足1()lim()2VaV的a.(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)Borntowin设矩阵A与B相似,其中20010022,02031100AxBy.(1)求x和y的值.(2)求可逆矩阵P,使得1PAPB.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.xxxxxxxxx(1)求的值;(2)证明0B.十一、(本题满分6分)设AB、分别为mn、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00ACB是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差2(0,10)XN,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).[附表]1234567…e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001…十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX.十四、(本题满分4分)设二维随机变量(,)XY的概率密度为,0,(,)0,yexyfxy其他,Borntowin(1)求随机变量X的密度()Xfx;(2)求概率{1}PXY.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(10,20]【解析】根据()10050QPP,得价格20P,又由1005QP得()5QP,按照经济学需求弹性的定义,有()5()1005QPPPQPP,令55110051005PPPP,解得10P.所以商品价格的取值范围是(10,20].(2)【答案】(0,4)【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当20x即2x时级数收敛.Borntowin当2x时,后项比前项取绝对值求极限有2(1)2212(2)4(2)(2)limlim,(1)4(2)414nnnnnnxnxnxnxn当2(2)14x,即当02202xx或24x时级数绝对收敛.又当0x和4x时得正项级数11nn,由p级数：11pnn当1p时收敛；当1p时发散.所以正项级数11nn是发散的.综合可得级数的收敛域是(0,4).注：本题也可作换元2(2)xt后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数14nnntn的收敛性.【相关知识点】收敛半径的求法：如果1nlimnnaa,其中1,nnaa是幂级数0nnnax的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1,0,,0,0,.R(3)【答案】221220010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式(,).Dfxydxdy由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：2{(,)01,2}Dxyyyxy,即D中最低点的纵坐标0y,最高点的纵坐标1y,D的左边界的方程是xy,即2yx的右支,D的右边界的方程是22xy即222xy的右半圆,xyD12OBorntowin从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见12DDD,且2122{(,)01,0},{(,)12,02}.DxyxyxDxyxyx所以2221212200010(,)(,)(,).yxxydyfxydxdxfxydydxfxydy(4)【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展开式,0(1)(1)0mnmnACABabB.【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则*,*AOAABBOB*1*mnOAAABBBO.(5)【答案】11260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.设所求概率为()PA,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为7!n,而有利于事件A的样本点数为2!2!,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式2!2!1()7!1260PA.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1:lim()xaFx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则.22()lim()lim()limxxaaxaxaxaftdtxFxftdtaxaxa22()lim()1xaafxafa.故应选(B).方法2:特殊值法.取()2fx,则22lim()lim22xaxaxaxFxdtaxa.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：Borntowin若()()()()ttFtfxdx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()Fttfttft.(2)【答案】(D)【解析】由于0x时,222111cos~,11~22xxxx,故22,1cos,11xxx是同阶无穷小,可见应选(D).(3)【答案】(A)【解析】齐次方程组0Ax只有零解()rAn.由于()rAA的行秩A的列秩,现A是mn矩阵,()rAn,即A的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax,有定理如下:对矩阵A按列分块,有12nA,,,,则0Ax的向量形式为11220nnxxx.那么,0Ax有非零解12n,,,线性相关12nr,,,nrAn.(4)【答案】(B)【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出ABC,故()()PABPC；由概率的广义加法公式()()()()PABPAPBPAB推出()()()()PABPAPBPAB；又由概率的性质()1PAB,我们得出()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB,因此应选(B).(5)【答案】(C)【解析】根据简单随机样本的性质,可以将12,,,nXXX视为取自方差为2的某总体X的简单随机样本,X与2S是样本均值与样本方差.由于样本方差2S是总体方差的无偏估计量,因此22,ESES,否则若ES,则22()ES,22()0DSESES.故不能选(A).对于正态总体,S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分Borntowin布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差2S是2的一致估计量,其连续函数2SS一定也是的一致估计量.三、(本题满分5分)【解析】函数()fx在0xx处连续,则要求00lim()()xxfxfx.方法1:利用洛必达法则求极限1lim()xfx,因为1lim()xfx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有1111sin(1)lncos(1)2tan(1)cos(1)lim()limlimlim1sincoscos2222xxxxxxxxfxxxx221124cos(1)lim(sin)22xxx.而(1)1f,故1lim()1xfx,所以()fx在1x处不连续.若令24(1)f,则函数()fx在1x处连续.方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,0x时,21cos12xx；ln(1)xx.求极限1lim()xfx,令1xt,则有1100lncos(1)lncosln[1(cos1)]lim()limlimlim1sin1cos1cos222xxttxttfxxtt222200221cos142limlim1248tttttt.以下同方法1.四、(本题满分5分)【解析】用分部积分法:2arccotarccot1xxxxxxxeIedeeeedxe22arccot(1)1xxxxeeedxeBorntowin21arccotln(1)2xxxeexeC,其中C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结