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-1-2014-2015学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分）1．（3分）若P={1，2，3}，Q={1，3，9}，则P∪Q=．2．（3分）函数y=的定义域为．3．（3分）写出命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”的否命题：．4．（3分）设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，集合A={2，|a+1|}，CUA={5}，则a=．5．（3分）若f（x+1）=x2，则f（3）=．6．（3分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，，则M∩N=．7．（3分）若x＞1，则x+的最小值是．8．（3分）已知偶函数f（x）在x＞0时的解析式为f（x）=x3+x2，则x＜0时，f（x）的解析式为．9．（3分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是．10．（3分）己知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是．11．（3分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．（3分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．-2-其中正确结论的序号是．二、选择题：（每小题3分）13．（3分）若a、b、c∈R，且a＞b则下列不等式中，一定成立的是（）A．a+b≥b﹣cB．ac≥bcC．D．（a﹣b）c2≥014．（3分）已知函数f（x）=，则x=1是f（x）=2成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）下列命题中错误的是（）A．B．x2+C．的最小值为2（x∈R）D．的最小值为2（x∈R）16．（3分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（）A．4个B．6个C．8个D．9个三、简答题：（第17题8分，第18、19题每题10分，第20、21题每题12分．）17．（8分）解不等式组．18．（10分）已知函数f（x）=ax2+2ax﹣3，对任意实数x都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．19．（10分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．20．（12分）已知，H（x）=f（x）•g（x）．（1）画出函数y=H（x﹣1）+2的图象；（2）试讨论方程H（x﹣1）+2=m根的个数．-3-21．（12分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？2014-2015学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分）1．（3分）若P={1，2，3}，Q={1，3，9}，则P∪Q={1，2，3，9}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集运算求解．解答：解：∵P={1，2，3}，Q={1，3，9}，则P∪Q={1，2，3}∪{1，3，9}={1，2，3，9}．故答案为：{1，2，3，9}．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．2．（3分）函数y=的定义域为{x|x≥1}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．-4-分析：由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．解答：解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．点评：本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题．3．（3分）写出命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”的否命题：若a＜0或b＜0，则ab＜0．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出即可．解答：解：∵命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”，∴它的否命题是：a＜0或b＜0，则ab＜0．故答案为：若a＜0或b＜0，则ab＜0．点评：本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据四种命题的相互关系进行解答，是基础题．4．（3分）设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，集合A={2，|a+1|}，CUA={5}，则a=﹣4或2．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：根据补集的性质A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程组，从而可得结论．解答：解：由题意，根据补集的性质A∪（CUA）=U，∴∴，∴a=﹣4或2．故答案为：﹣4或2．点评：本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题．5．（3分）若f（x+1）=x2，则f（3）=4．考点：塞瓦定理；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求出函数f（x）的解析式，再求出f（3）的值，也可以直接令x+1=3去求解，得到本题结论．解答：解：∵f（x+1）=x2，∴令x+1=t，则x=t﹣1，f（t）=（t﹣1）2，f（3）=（3﹣1）2=4．故答案为：4．点评：本题考查了函数解析式和函数值的求法，本题难度不大，属于基础题．6．（3分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，，则M∩N=．-5-考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，再由并集的运算法则计算M∩N．解答：解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．点评：本题考查集合的交集的运用，解题时要认真审题，先求出集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，再由并集的运算法则计算M∩N．7．（3分）若x＞1，则x+的最小值是3．考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：x+=x﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值．解答：解：∵x＞1，∴x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x﹣1=即x=2时取等号，∴x=2时x+取得最小值3，故答案为：3．点评：该题考查基本不等式求函数的最值，属基础题，熟记基本不等式求最值的条件是解题关键．8．（3分）已知偶函数f（x）在x＞0时的解析式为f（x）=x3+x2，则x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=﹣x3+x2．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：设x＜0，则﹣x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出f（﹣x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x＜0时的解析式．解答：解：由题意，设x＜0，则﹣x＞0∵x＞0时的解析式为f（x）=x3+x2，∴f（﹣x）=﹣x3+x2，∵f（x）是偶函数-6-∴f（x）=﹣x3+x2，故答案为f（x）=﹣x3+x2点评：本题的考点是函数奇偶性的性质，主要考查偶函数的定义，求函数的解析式，应掌握求哪设哪．9．（3分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：图表型．分析：由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．解答：解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称．10．（3分）己知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是{x|或}．考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．解答：解：∵ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的根为﹣3、﹣2，∴﹣3﹣2=，（﹣3）×（﹣2）=∴a=﹣1，b=﹣6∴不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＜0∴6x2+5x+1＞0∴或故答案为：{x|或}．点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b的值，是解答本题的关键．-7-11．（3分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是2．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12．（3分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确结论的序号是②．考点：集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．专题：压轴题；新定义．分析：本题考查的是新定义和集合知识综合的问题，在解答时首先要明确闭集合是什么，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．解答：解：对于①：﹣4+（﹣2）=﹣6∉A，故不是闭集合，故错；对于②：由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，故正确；对于③：假设A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，故错．对于④：设集合A1=A2=R，都为闭集合，但不存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）；故④不正确．正确结论的序号是②④．故答案为：②．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．二、选择题：（每小题3分）13．（3分）若a、b、c∈R，且a＞b则下列不等式中，一定成立的是（）A．a+b≥b﹣cB．ac≥bcC．D．（a﹣b）c2≥0-8-考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞b，∴a﹣b＞0．又c2≥0，∴（a﹣b）•c