高数极限习题

机动目录上页下页返回结束习题课第一章机动目录上页下页返回结束1.填空题(填“存在”或“不存在”)xoy2xy1解函数y=2x的图形如图所示.00不存在从而可以填出答案.其中题(5)的右极限由题(3)知不存在.机动目录上页下页返回结束2.判断题原因(3)若(1)()()存在,且则()因为正解的极限不存在.因为当x→0时,x为无穷小,是有界函数,所以仍是无穷小,从而机动目录上页下页返回结束2.判断题原因(3)若(2)()()存在,且则()分开求和的极限只对有限项成立.正解机动目录上页下页返回结束2.判断题原因(3)若(3)()()存在,且则()机动目录上页下页返回结束3.设解(1)求单侧极限(1)(3)和(2)是否存在?是否存在?(2)由(1)知故不存在.(3)存在.因为机动目录上页下页返回结束4.设解(1)用10的方幂表示xn;(1)(2)求…………(2)0.9999,0.9999nx机动目录上页下页返回结束124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1)1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0xxx3)21(limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.求下列极限：3311lim0xxx5.10.30sintanlimxxxx机动目录上页下页返回结束5.设下列极限：解(1)(2)机动目录上页下页返回结束(3)(4)注意到当x→0时,x为无穷小,为有界函数,所以机动目录上页下页返回结束(5)(6)注意到当x→0时,sinx～x,ln(1+4x)～4x,所以∴原式机动目录上页下页返回结束6.判断下列函数是否有间断点,若有,指出其间断点,并解(1)判断其类型.当x=1,时,f(x)无定义,所以是f(x)的间断点.因为所以x=1为f(x)的第一类间断点,且是可去间断点.机动目录上页下页返回结束因为所以且是无穷间断点.为f(x)的第二类间断点,(2)当sinx=0,即时,f(x)无定义,所以是f(x)的间断点.因为所以x=0(k取0)为f(x)的第一类间断点,且是可去间断点.因为当k≠0时,所以且是无穷间断点.为f(x)的第二类间断点,机动目录上页下页返回结束(3)因为所以x=0为f(x)的第二类间断点,且是振荡间断点.不存在(因为当时,的值在0与1之间无限次振荡),机动目录上页下页返回结束(4)因为当x3时,f(x)=x2,所以当x3时,f(x)为连续函数,同样,下面讨论x=3时的情况.当x3时,f(x)=x+6也是连续函数,无间因为所以故f(x)在x=3处连续.综上所述,函数f(x)无间断点,在(－∞,＋∞)内连续.无间断点.断点.机动目录上页下页返回结束7.设a0,且解要使f(x)在x=0处连续,则即故当a=1时,f(x)在x=0处连续.当a取何值时,f(x)在x=0处连续.得机动目录上页下页返回结束8.设函数f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,求解所以又因为因为f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,所以机动目录上页下页返回结束9.至少有一个小于1的正根.证：证明方程令且根据介值定理的推论(也称为零点定理),内至少存在一点在开区间(0,1)显然f(x)在闭区间[0,1]上连续,使即亦即所以方程至少有一个小于1的正根.机动目录上页下页返回结束21sinxxxy一、选择题A.偶函数；B.奇函数；C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数1.函数是（）xxx20sinlim（）nnnx2sin2lim下列极限计算正确的是（）e)11(lim.0xxxAe)1(lim.1xxxB11sinlim.xxCx1sinlim.xxDx2.A.2；B.1；C.0；D.33.A.x；B.1；C.0；D.34.机动目录上页下页返回结束124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1)1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0xxx3)21(limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.3311lim0xxx5.10.30sintanlimxxxx二、求极限机动目录上页下页返回结束三、判断下列函数是否有间断点,若有,指出其间断点,并判断其类型.机动目录上页下页返回结束四、设a0,且当a取何值时,f(x)在x=0处连续.机动目录上页下页返回结束五、设函数f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,求机动目录上页下页返回结束至少有一个小于1的正根.六、证明方程