高数第一章习题课

第一章习题课第一章函数与极限本章内容小结本章题型小结典型例题分析课堂练习内容回顾函数极限连续本章内容小结概念性质计算法极限存在准则无穷小的性质左右极限重要极限等价无穷小替换连续性概念性质（函数基本初等函数初等函数）基本结论初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质数列极限函数极限axnnlimAxfx)(limAxfxx)(lim0左右极限极限存在的充要条件无穷大)(limxf两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小0)(limxf判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质定义、运算法则本章内容小结左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类本章内容小结1.有关函数概念的命题3.连续性的讨论2.极限的计算4.其他求定义域；有界性、奇偶性分析；复合函数分解等。用定义证明极限；“未定式”的极限；分段函数的极限等。分段函数连续性的讨论；无穷小的比较；方程的根的分析等。判断间断点的类型、求连续区间基本题型小结本章重点：函数在一点连续的概念，利用各种运算法则及定理求函数及数列的极限.关键：掌握求极限的方法..的极限概念，但非重点”定义”“”“难点：“XN本章重点难点总结求极限的常用方法)()()(lim000定义区间xxfxfxx1.初等函数求极限的方法——代入法.2.利用恒等变形消去零因子.)00(”型“关系求极限；利用无穷大与无穷小的.3;.5极限利用等价无穷小替换求求极限；利用两个极限存在准则.6限；利用无穷小的性质求极.4。利用左、右极限求极限.8限；利用两个重要极限求极.7习题解析习题1—4但不是无穷大!时的无穷大？是否为内是否有界？这个函数在函数xxxxf),(cos)(.6分析：1)无界MxfxM)(],1,0(,000使2)无穷大.)(,0,0MxfXxXM，满足使得习题解析习题1—5)1311(lim)14.(131xxx解：习题解析习题1—6nnnx2sin2lim)6.(1解：111lim)1.(4nn证明：nn111111]1[lim)5.(40xxx证明：xxx1]1[11121sinlim22xxxx练习分析：21211sinlimxxxx原式,2x同除以恒等变形：分子、分母212111sinlimxxxx21ccxcxxx，求设4lim解一xxxxcxccxcx21limlimccccxxcxccxc2121lim22ce242ln22c2lnc得解二xxxxxxcxccxcx11limlimcceece2练习xxx)11(lim解1：原式xxx))(11(lim2xxxxx)11()11(lim1])11[(lim)11(limxxxxxx.11ee注：关键是凑出所需重要极限的形式，并注意极限式中函数形式的一致性。解2：原式xxxx1)()11(limxxe1lim.10e练习||1x当时，221lim1nnnxxxx||1,x当时||1,x当时解：221lim01nnnxxx221lim1nnnxxxx分析：题目中的函数是包含极限过程的函数，在讨论函数时应先求出它的最简形式，然后再讨论其连续性。2214.()lim1nnnxfxxx讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。习题解析习题1—811lim()1,lim()1;xxfxfx||1()0||1||1xxfxxxx11lim()1,lim()1xxfxfx1()xfx所以是的第一类跳跃间断点。小结按照函数在一点连续的定义可依下次序判断间断点及类型：1.无定义的点2.左右极限可能不存在的点3.极限值可能不等于函数值的点特别的，对于分段函数，其分段点就是可能的间断点，研究这些点左右极限与函数值的关系，可以确定它们是否为函数的间断点。求下列函数的间断点并确定其所属类型：1111xye解：1()xfx显然是无定义的点。11111lim()lim01xxxfxe11111lim()lim11xxxfxe1()xfx故是的跳跃间断点。注1,x1,1x110,xe1111xe1,x1,1x11,xe111xe练习1121,0211,0xxxyx解：0()xfx是的分段点。110021lim()lim121xxxxfx0()xfx故是的跳跃间断点。110021lim()lim121xxxxfx练习设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxbln2ebaln12练习例2（3分）设函数在x=0处连续，则a=【考研关注】002arcsin1)(2tanxaexxexfxx【求解思路】x=0处连续f（0-0）=f（0+0）=f（0）=a22lim2tanlim2arcsin1lim00tan0xxxxxexxxx左边=右边=a-2习题解析习题1—9xxxsinsinlim)6.(3解：原式xxxx2sin2cos2lim2coslimxx.cos2sin2cos2sinsin习题解析习题1—9xxxxxx20sin1sin1tan1lim)6.(4解：原式1sin1sin1tan11lim20xxxxx)sin1tan1)(1sin1()sin1()tan1(1lim20xxxxxxx2sin21sintan1lim20xxxxxxxxxxx20sincos)cos1(sin1lim41习题解析习题1—10.],0()0,0(sin.3内至少有一根在区间证明方程bababxax证：,sin)(xbxaxf令,],0[)(上连续在则baxf,0)0(bf又)()sin()(babbaabaf由零点定理,使),,0(ba,0)(f.],0(内至少有一根方程在ba)]sin(1[baa00)(baf若为方程的一个正根。则ba0)(baf若分析：因所涉及到的函数是闭区间上的连续函数，应考虑利用介值定理；问题的关键是对哪一个函数在哪个区间上运用介值定理？运用零点定理，若对函数)(xF上连续；应当在某闭区间IxF)(.1一致；应与所证结果)()21(0)(.2ffF]1,0[.3I由此出发构造函数F(x)!).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设练习证明),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF),0()21()0(ffF),0()21()1()21(FffF讨论:,0)0(F若,0则);0()210(ff,0)21(F若,21则);21()2121(ff).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设练习则若,0)21(,0)0(FF)21()0(FF2)]0()21([ff.0由零点定理知,.0)(),21,0(F使.)()21(成立即ff综上,],1,0[]21,0[必有一点.)()21(成立使ff习题解析总习题一232)()1.(3xxxf11)()2.(311xxeexf111lim110xxxee111lim110xxxee3ln2ln232lim0xxxx习题解析总习题一30sintanlim)4(9xxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim20xxxxxxcos2sin2sinlim220xxxxcos1)2(42sin2lim220.21解法2：原式20)cos1(tanlimxxxxx22021tanlimxxxxx.21221~cos1xxxx~tan解法1：原式填空题：1、xxx2sin3tanlim0=__________.2、mnxxx)(sinarcsinlim0=________.3、xxx)21ln(lim0=_________.4、xaxnx1)1(lim10=_________.练习题23nmnmnm,,1,02na作业：预习：第二章§1导数概念再例如xxxsin3021lim求6sin21sin32121xxxxxxxxxxe2121lnsin662121lnsin6lim0eexxxxx原式P58例5).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多项式设解,2)(lim23xxxpx),(2)(23为待定系数其中可设babaxxxxp,1)(lim0xxpx又)0(~2)(23xxbaxxxxp.1,0ab从而得xxxxp232)(故例6.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf解改写成将)(xf1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续在显然xf连续性的讨论)(lim1xfx)1(lim1xx.2)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断在故xxf,1时当x)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim1xfx)1(lim1xx.0)1()(lim)(lim11fxfxfxx.1)(连续在故xxf.),1()1,()(连续在xf例6.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf,1时当x解：连续性的讨论测验题1、当0x时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）2x；（B）xcos1；（C）xxtan；（D）)1ln(x.2、xxx0lim（）(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在.一、选择题3、设10,01,1)(xxxxxf则)(lim0xfx()(A)-1；(B)1；(C)0；(D)不存在.二、求下列各极限:)21...41211(lim1nn、)(lim2xxxxx、2lim31nmnmxxxxx、==1/2==2nmnm)(lim2xxxxx、”型分析：是“-xxxxxxxxxxxxlim)(lim111lim1