高数(工本)课后习题

第一章第一章第一章第一章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数习题习题习题习题1−−−−11．研究空间直角坐标系各个卦限中点的坐标特征，指出下列点在哪个卦限：A（1,−2,3），B（2,3,−4），C（2,−3,−4），D（−2,−3,1），E（1,2,4）．空间直角坐标系中点M（x，y，z）的坐标值与其所在卦限的关系如下：xyz卦限xyz卦限xyz卦限xyz卦限+++第一卦限++−第五卦限+−+第四卦限+−−第八卦限−++第二卦限−+−第六卦限−−+第三卦限−−−第七卦限因此点A处于第四卦限，点B处于第五卦限，点C处于第八卦限，点D处于第三卦限，点E处于第一卦限．2．研究在各个坐标面和坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点在哪个坐标面或坐标轴上：A（3,4,0）,B（0,4,3），C（3,0,0），D（0,−1,0），E（0,0,7）．空间直角坐标系中点(,,)Pxyz（,,xyz至少有一个为0）的坐标特征如下：在x轴上，y、z必为0，在Oyz平面上，x必为0；在y轴上，x、z必为0，在Oxz平面上，y必为0；在z轴上，x、y必为0，在Oxy平面上，z必为0．因此点A（3,4,0）在Oxy平面上，点B（0,4,3）在Oyz平面上，点C（3,0,0）在x轴上，点D（0,−1,0）在y轴上，点E（0,0,7）在z轴上．3．点（a，b，c）关于各坐标面、各坐标轴、坐标原点的对称点的坐标是什么？如下表所示：坐标Oxy平面Oyz平面Oxz平面x轴y轴z轴原点(a，b，c)(a，b，−c)(−a，b，c)(a，−b，c)(a，−b，−c)(−a，b，−c)(−a，−b，c)(−a，−b，−c)4．对于空间中的点M，如果经过M向某条直线做垂线，则称垂足为点M在直线上的投影点；如果经过M向某个平面做垂线，则称垂足为点M在该平面上的投影点．求点（a，b，c）在各个坐标面及各个坐标轴上的投影点的坐标．如下表所示：坐标Oxy平面Oyz平面Oxz平面x轴y轴z轴(a，b，c)(a，b，0)(0，b，c)(a，0，c)(a，0，0)(0，b，0)(0，0，c)5．求顶点为A（2,5,0），B（11,3,8），C（5,1,11）的三角形各边的长度．222(211)(53)(08)149AB=−+−+−=；222(115)(31)(811)7BC=−+−+−=；222(25)(51)(011)146AC=−+−+−=．6．求点A（4,-3,5）到各个坐标轴的距离，即求点A与其在各个坐标轴上投影点的距离．如下表所示：坐标与x轴的距离与y轴的距离与z轴的距离A（4,−3,5）22(3)534−+=224541+=224(3)5+−=习题习题习题习题1−−−−21．利用向量的运算化简下列向量的线性运算：（1）2(2)+−−abab；2(2)224ababb+−−=+−+=ababrrrrr（2）13525−−+−+baabb；13555322522abbbaab−−+−+=−−+−=−−baabbrrrrrrr（3）()()()()mnmn−+−+−abab．()()()()mnmn−+−+−abab()()()()2()mnamnbmnamnbmbna=−+−−+++=−rrrrrr2．设向量=−+uij2k，3=−+−vijk，计算23−uv．232(2)3(3)5117ijkijkijk−=−+−−+−=−+uvrrrrrrrrr3．给定向量{3,5,1)=−a，{2,2,3}=b，{4,1,3}=−−c，求：（1）2a；（2）+−abc；（3）234−+abc；（4）mn+ab．（1）2{6,10,2}=−a；（2）{3,5,1}{2,2,3}{4,1,3){1,8,5}+−=−+−−−=abc；（3）{3,5,}{2,2,3}{32,52,3}mnmmmnnnmnmnmn+=−+=++−+ab．4．给定两点A（−3,−3,3）及B（3,4,−3），求与ABuuur平行的单位向量．易得{6,7,6}AB=−uuur,因此222{6,7,6}676{,,}11111167(6)ABABAB−=±==−++−ouuuruuuur或676{,,}111111−−．5．给定两点A（4,0,5）及B（7,1,3），求与ABuuur同向的单位向量．易得{3,1,2}AB=−uuur，因此222{3,1,2}3141414{,,}1414731(2)ABABAB−===++−ouuuruuuur．6．设向量的方向余弦分别满足：（1）cos0α=；（2）cos1β=；（3）cos0,cos0αβ==．问：这些向量和坐标轴的关系如何？（1）由cos0α=可知该向量垂直于x轴；（2）由cos1β=可知该向量与y轴同向；（3）由cos0α=及cos0β=可知该向量垂直于x轴与y轴，即该向量与z轴平行．7．求向量{1,2,1}=a的单位化向量0a，并求a与各个坐标轴的夹角．易得121{,,}222aaa==or，故1cos2α=，2cos2β=，1cos2γ=．8．证明下列结论：（1）λ=a0的充分必要条件是0λ=或=a0；（2）如果a是单位向量且λ=βα，则λ=β．（1）由0aλ=rr可得0aaλλ==rrr，故0λ=或0a=rr；（2）由aβλ=rr可得aaβλλλ===rrr．习题习题习题习题1−−−−31．已知向量{3,2,1}=−a，{1,1,2}=−b，求：（1）ab；（2）5a3b；（3）ai，aj，ak．（1）{3,2,1}{1,1,2}1ab=−−=−rr；（2）5315{3,2,1}{1,1,2}15ab=−−=−rr；（3）{3,2,1}{1,0,0}3ai=−=rr，{3,2,1}{0,1,0}2aj=−=rr，{3,2,1}{0,0,1}1ak=−=−rr．2．设向量{2,3,5}=−a，{3,1,2}=−b，求：（1）ab；（2）2b；（3）2()+ab；（4）()()+−abab；（5）(32)(2)+−abba．（1）{2,3,5}{3,1,2}7ab=−−=−rr；（2）22{3,1,2}14b=−=r；（3）222()({2,3,5){3,1,2}){5,2,3}38ab+=−+−=−=rr；（4）()(){5,2,3}{1,4,7}24abab+−=−−−=rrrr；（5）(3)(2){9,8,13}{1,7,12}221abba+−=−−−=−rrrr．3．设向量≠a0且=abac，问：是否有=bc？为什么？设向量ar与bcrr、的夹角分别为βγ、，由coscosababacacβγ===rrrrrrrr可得coscosbcβγ=rr，即向量bcrr、在向量ar上的投影相等，因此不能断定bc=rr．4．已知向量{1,1,4}=−a，{2,2,1}=−b，求：（1）ab；（2）a，b；（2）a与b的夹角θ．（1）{1,1,4}{2,2,1}4ab=−−=−rr；（2）22211(4)32a=++−=r，2222(2)13b=+−+=r；（3）422cos9323ababθ−===−rrrr，故22arctan9θπ=−．5．证明向量{3,2,1}=−a与{2,3,0}=−b相互垂直．由{3,2,1}{2,3,0}0ab=−−=rr可得ar与br相互垂直．6．已知三角形的顶点为(1,2,3),(1,1,1),(0,0,5)ABC−，证明此三角形是直角三角形，并求角B．由已知得{2,1,2}AB=−−uuur，{1,2,2}AC=−,{1,1,4}BC=−−故222(11)(12)(13)3AB=++−+−=uuur，同理得3AC=uuur，32BC=uuur，由于222ABACBC+=uuuruuuruuur，故此三角形是直角三角形，又2cos2ABBCBABBC==uuuruuuruuuruuur，因此4Bπ=．7．计算下列向量所对应的向量积×ab：（1）{1,1,1}=a，{3,2,1}=−b；（2）{0,1,1}=−a，{1,1,0}=−b．（1）111325{3,2,5}321ijkabijk×==+−=−−rrrrrrrr；（2）011{1,1,1}110ijkabijk×=−=−−−=−−−−rrrrrrrr．8．已知向量{3,2,1}=−a，{1,1,2}=−b，求：（1）×ab；（2）27×ab；（3）72×ba．（1）321375{3,7,5}112ijkabijk×=−=−−=−−−rrrrrrrr；（2）271432114(375){42,98,70}112ijkabijk×=−=−−=−−−rrrrrrrr；（3）721411214(375){42,98,70}321ijkbaijk×=−=−++=−−rrrrrrrr．9．设向量≠a0且×=×abac．问：是否有=bc？为什么？设111{,,}axyz=r，222{,,}bxyz=r，333{,,}cxyz=r其中111,,xyz不全为0，则111122121121221222{,,}ijkabxyzyzyzxzxzxyxyxyz×==−−−rrrrr，111133131131331333{,,}ijkacxyzyzyzxzxzxyxyxyz×==−−−rrrrr，又abac×=×rrrr，即122113312112311312211331yzyzyzyzxzxzxzxzxyxyxyxy−=−−=−−=−，整理得123123123123123123()()()()()()xyyyxxyzzzyyzxxxzz−=−−=−−=−，由此可得232323111xxyyzzxyz−−−==，由已知111,,xyz不全为0可知232323,,xxyyzz−−−不全为0也满足abac×=×rrrr，因此ab=rr不一定成立．10．已知向量{2,3,1}=−a，{1,1,3}=−b，{1,2,0}=−c，计算：（1）()()−abcacb；（2）()()+×+abbc；（3）()×abc．（1）()(){8,16,0}{8,8,24}{0,8,24}abcacb−=−−−=−−rrrrrr；（2）()(){3,4,4}{2,3,3}344{0,1,1}233ijkabbcjk+×+=−×−=−=−−=−−−rrrrrrrrr；（3）()231{1,2,0}{8,5,1}{1,2,0}2113ijkabc×=−−=−−−=−rrrrrr．11．求同时垂直于向量{2,1,1}=a和{4,5,3}=b的单位向量．设同时垂直于题中两向量的向量为nr，则211226{2,2,6}453ijknabijk=×==−−+=−−rrrrrrrrr，故1111311{,,}111111nnn=±=−oruur或1111311{,,}111111−−．12．已知向量{1,0,3}OA=uuur，{0,1,3}OB=uuur，求△ABO的面积．设nOAOB=×uuuruuurr，则10333{3,3,1}013ijknijk==−−+=−−rrrrrrr，故2221(3)(3)1192ABOSn∆==−+−+=r．习题习题习题习题1−−−−41．求到原点O和点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的轨迹方程，它表示何种曲面？设满足条件的点为(,,)Pxyz，则有22222212(2)(3)(4)xyzxyz++=−+−+−，化简并整理得223343638290xxyyzz+++++−=，可化为22224116()(1)()339xyz+++++=，此轨迹方程表示原点在24(,1,)33−−−，半径为2293的球面．2．求与点（3,2,−1）和点（4,−3,0）等距离的点的轨迹方程．设满足条件的点为(,,)Pxyz，则有222222(3)(2)(1)(4)(3)xyzxyz−+−++=−++