高数C2习题册答案

h习题一定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C*5、D二、填空题1．02．2121222xedxe3．04．1x6．()()fbfa7．48．三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：4()sin12xxx（2）解：2324262()cos2cos3xxxexxexx2．求下列极限：*(1)3x00xxdtt22arcsinlim*(2))2(1lim22nnnnn解：2030arcsin2limxxtdtx解：221lim(2)nnnnn202arcsin2lim3xxxx112lim()nnnnnn02arcsin24lim33xxx11limnniinn2030arcsin2limxxtdtx10xdx20arcsin22lim3xxxx2302arcsin24lim33xxx故极限不存在。3．证明：)(x=dttftxxa2)()(=22(2)()xaxxttftdt=22()2()()xxxaaaxftdtxtftdttftdt222()2()()2()2()()xxaaxxftdtxfxtftdtxfxxfx=2xadttftx)()(4．解：(1)xyex，令0y，得1x，当1x时，0y；当1x时，0y，所以，函数y在(,1)内单调递减，在(1,)单调递增，在1x点处取得极小值10(1)(1)tyetdt=2e.习题二定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分(1)323)1(dxx(2)10212dttet解：原式=332(1)(1)xdx解：原式=2112201()2tedt=4321(1)4x=65421120te121e(3)03)sin1(dxx(4)411dxxx解：原式300sindxxdx解：原式411(1)dxxx20(1cos)cosxdx41121dxx301(coscos)3xx412ln(1)x4332ln2(5)312211dxxx(6)20xdx2xsin解：令tanxt解：原式201cos22xdx原式23224sectan1tantdttt22001(cos2cos2)2xxxdx324sectantdtt324cossintdtt2011(sin2)222x3241sinsindtt341sint42223(7)230arccosxdx(8)exdx1lnsin解：原式3322020arccos1xxxdxx解：原式111sinlncoslneexxxxdxx3222031112621dxx111sin1coslnsinlneeexxxxdxx32203121122x1sin1cos11sinlneeexdx31122故11sinln(1sin1cos1)2exdxee2．解：令1xt，则20)1(dxxf11()ftdt01101111tdtdtet令teu，则1011111(1)tedtdueuu1111()1eduuu11ln1euuln2ln(1)e11001ln(1)ln21dttt20)1(dxxfln(1)e二、证明题1．证明：令1xt，则10011(1)nmmnxxdxttdt10(1)mnttdt10(1)mnxxdx2．证明：令xt，则()()bbbbfxdxftdt()bbfxdx3．证明：令1xt，则111222111()11xxdxdtxtt12111xdtt12111xdxx4．证明：0()()xxftdt，令tu，则00()()()xxxftdtfudu又()fu是奇函数0()xfudu)x（即xdttfx0)()(是偶函数.习题三广义积分，定积分的几何应用一、选择题1.B2.C3.D二、填空题1．1，1,11；1，1，112.，6，(1)r.三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dxxx1e2ln(2)dxx1x11002解：原式21lnlnedxx解：原式21001(1)2(1)11xxdxx11lnex98991001121()(1)111dxxxx97111()29798994(3)1011dxx(4)10lnxdx解：原式101(1)1dxx解：原式10(ln1)xx11202(1)x212．解：2)(ln1dxxxk21ln(ln)kdxx212lnln11(ln)11kxkxkk11ln211kkkk发散令1(ln2)()1xfxx，则112(ln2)lnln2(1)(ln2)()(1)xxxfxx11lnln2x为驻点，且111lnln2x时，()0fx；11lnln2x时，()0fx，所以11lnln2k时，2)(ln1dxxxk1(ln2)1kk取得最小值。3.解：2231222222001(2)242xxxedxxedx23()82=2164．解：123(32)Sxxdx3235．解：曲线xyln在00(,ln)xx点处的切线为0001ln()yxxxx，则过原点的切线为1ln()yexee，即xye故0(ln)exSxdxe2e6．解：211(2)Sxdxx1ln227．解：812230[2()]Vydy6458．解：412302(2)Vxxdx5221习题四定积分及其应用总习题一、填空题1．12．2()afa3．0xxtxeedt4．05．16．0k7．08*．1二、计算题1．解：方程两边对x求导，得2()()fxxfxx故2()1xfxx，代入原方程有212220112xxttxdttdtctt即222211ln(1)(1ln2ln(1)222xxxxc那么1(ln21)2c2．解：223341max(1,,)11113xxxxxxx311323234411max(1,,)1Ixxdxxdxdxxdx433．解：111ln()1xtfdtxt，令1tu，则211ln11()()11xufduxuu21lnxuduuu故211lnln()()()1xttfxfdtxttt1lnxtdtt21lnlnln2xxtdt4*．解：令tu，则0sinsin()xxtufxdtdutu00sin()xufxdxdudxu0sinuudxduu25.解：20xVedx2三、证明题1．证明：令tabx，则()()baabfabxdxftdt()baftdt()bafxdx2．证明：令2xt，则202sinsin()2nnxdxtdt22cosntdt202cosntdt令2tu，则0nxdxsin202cosntdt022cos()2nudu202sinnudu202sinnxdx3．证法一：对右边，由定积分的分部积分公式：x0t0dtduuf))((0000[()][()]xtxttfudutdfudu00()()xxxfudutftdt00()()xxxfudutftdt00()()xxxftdttftdt0()()xftxtdt左边证法二：交换二次积分的顺序：x0t0dtduuf))((0(())xxufudtdu0()()xfuxudu0()()xftxtdt4．证明：02()()()xfxxftdtFxx2()()fxxxfx，其中0xa，（积分中值定理）又因为0)(xf，即()fx单调递减，故()()fxf，则()0Fx，那么)(xF在(0,a)内单调减少。习题五微分方程的基本概念，一阶微分方程一、单项选择题1．C2．C3．D4．D二、填空题1．导数或微分，常。2．3。3．阶。4．初始。5．22xxyCexe。*6．12y。三、计算题1．求下列微分方程的通解：（1）02yyx（2）2211yyx解：20yyx解：2211dydxyx22dxxyCeCx2211dydxyxsinsinarcyarcxC（3）yxyxdxdy34（4）xxyy62解：431ydyxydxx解：22(6)xdxxdxyexedxc令yux，则dyduuxdxdx23xyCe即431duuuxdxu21(2)udxduux故通解为ln(2)02xyxCyx（5）xxydxdy6（6）22xyxydxdy解：11(6)dxdxxxyexedxc解：2112dyxxydxy(6)yxxC令1uy，则21dudydxydx2duxuxdx2112xuCey2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）解：yxedyedxxyeeC，又00xy，则2C，故特解为2xyee（2）解：2dxxydy，则112()dydyxeyedyC222yxyyCe，又10yx，则3C，故特解为2223yxyye（3）解：12yyx，则11(2)dxdxxxyeedxC，故Cyxx，又21xy，则1C，特解为1yxx3．解：设所求曲线方程为()yfx，那么2yxy，且(0)0f，由2yyx得11(2)dxdxyexedxC，即22xyxCe又0x时，0y，故2C，所以222xyxe4.设()fx可微且满足关系式0[2()1]()1xftdtfx，求()fx.解：方程两边同时求导，得2()1()fxfx，解之，21()2xfxCe又00[2()1](0)1ftdtf，即(0)1f故12C，那么211()22xfxe习题六可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程一、选择题1．A2．D二、填空题1．2212xxyCeCxe。2．4212334yxCxCxC。3．122lnxxxycecxexxex。4．*()xyaxbe5．*cossinyaxbx二、求解题1．求微分方程的通解。(1)xxey(2)yyx解：xydxxedx解：令yp，则yp，即ppx1xxyxeeCxxxepepxexxepxe