解三角形复习课件

第一章解三角形已知条件应用定理一般解法一边和二角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.S△＝12acsinB在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝12absinC在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.S△＝12absinC，在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝12absinC，可有两解，一解或无解.2.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．3．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝a2R，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．5.与其他知识的综合运用在解三角形应用正弦定理、余弦定理时，还要注意与三角形的其他知识的综合应用．(1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°.(2)三角形的面积公式S＝12ah，S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(3)大边对大角，等边对等角．(4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．(5)解决不在同一平面内的三角形问题要注意正确画出空间图形．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝c·cosB，△ABC的面积S＝10，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．解(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA.【例2】3∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosC＝12，∴C＝π3.(2)由S＝12absinC＝103，C＝π3，得ab＝40.①由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2ab1＋cosπ3，∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12.∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.[例2]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[例2]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[解]方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.将A＝120°－C代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开，整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°.∴C＝60°，故A＝60°.∴△ABC为正三角形．[例2]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝a＋c2，∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°.整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.∴△ABC为正三角形．[例1]在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长．[例1]在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长．[解](1)由cosC＝255，得sinC＝55，sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝22(cosC＋sinC)＝31010.由正弦定理，得BC＝ACsinB·sinA＝1022×31010＝32.[例1]在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长．(2)由正弦定理，得AB＝ACsinB·sinC＝1022×55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosB＝1＋18－2×1×32×22＝13.三、正、余弦定理与其他知识的综合[例4]在△ABC中，已知BC→·CA→＝152，CA→·AB→＝－652，AB→·BC→＝－332，求△ABC的最大内角．三、正、余弦定理与其他知识的综合[例4]在△ABC中，已知BC→·CA→＝152，CA→·AB→＝－652，AB→·BC→＝－332，求△ABC的最大内角．[解]方法一：∵BC→·CA→＝|BC→||CA→|·cos(180°－∠ACB)＝1520，∴cos∠ACB0.∴∠ACB90°，即∠ACB是△ABC中的最大内角．由已知BC→·CA→＝152，AB→·BC→＝－332，∴BC→·CA→＋AB→·BC→＝BC→(CA→＋AB→)＝BC→·CB→＝－|BC→|2＝－9.三、正、余弦定理与其他知识的综合[例4]在△ABC中，已知BC→·CA→＝152，CA→·AB→＝－652，AB→·BC→＝－332，求△ABC的最大内角．∴|BC→|＝3，同理可求得|CA→|＝5.又∵BC→·CA→＝152，∴152＝|BC→||CA→|cos(180°－∠ACB)＝－15cos∠ACB，∴cos∠ACB＝－12.又∵0∠ACB180°，∴∠ACB＝120°.三、正、余弦定理与其他知识的综合[例4]在△ABC中，已知BC→·CA→＝152，CA→·AB→＝－652，AB→·BC→＝－332，求△ABC的最大内角．方法二：同解法一，求出|BC→|＝3，|CA→|＝5，|AB→|＝7.∴∠ACB最大，由余弦定理得cos∠ACB＝32＋52－722×3×5＝－12.∴∠ACB＝120°，即最大角为120°.三、正、余弦定理与其他知识的综合[例4]在△ABC中，已知BC→·CA→＝152，CA→·AB→＝－652，AB→·BC→＝－332，求△ABC的最大内角．方法三：设△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c.由BC→·CA→＝152得abcosC＝－152，由余弦定理得a2＋b2－c2＝－15.①同理可得b2＋c2－a2＝65，②c2＋a2－b2＝33.③由①②③解得a2＝9，b2＝25，c2＝49，即a＝3，b＝5，c＝7.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.∴C＝120°.