典型立体几何模型的应用

本卷第1页（共9页）典型立体几何模型的应用汉川二中程涛学习立体几何要有准确的空间想象能力，有看图、画图、理解图的能力，同时具有必要的逻辑推理能力，运算能力.在复习立体几何的时候，往往利用一些典型的空间模型可以起到从特殊到一般的作用，将一些复杂问题简单化。所以我们可以利用典型的空间模型复习立体几何。典型的空间模型就是典型的空间环境，立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的，许多同学对典型的几何环境理解不深，所以当高考出现了很多与典型空间模型相关的大型立体几何题的时候，就感觉很难解决了.一、长方体模型1.长方体1111ABCDABCD中1BD是长方体的对角线，它有几个结论：①体对角线长是：2221BDabc②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为,,，则222coscoscos1③考虑四面体11BCAD是对棱长分别相等的四面体，即111111,,ABDCBCDADBAC，对棱长分别是222222,,abbcca.例1某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是,,abc，求四面体的体积.分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为,,xyz的长方体中，如图，由222222222,,.axybyzczx把222,,xyz看作三个元，解这个三元方程组得：cbaD1C1B1A1DCBA本卷第2页（共9页）222222222222,2,2.2acbxabcybcaz这样,,xyz都可以用这个四面体的对棱长来表达.四面的体积＝长方体的体积－4个三棱锥的体积所以222222222124()()()6312xyzVxyzxyzabcbcaabc.四面体中异面对棱长分别为,,abc的四面体的体积的算法——嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体中，这就是长方体模型的一个利用.同时可以用这个长方体来解决有关四面体的距离和角的问题。例2如图，三棱锥PABC中，APBBPCCPA90，M在△ABC内，60,45MPAMPB，求MPC的度数.分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的对角线.根据222coscoscos1MPBMPCMPA，可得21cos4MPC，从而60MPC.如果在图中随便连MC，解△MPC那恐怕不是好办法.这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥PABC是完全可能的.例3四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，4,12,,ABBCPAABCD面3PA，求PC与BD的成角的余弦值.解：延长AB到E，使AB＝BE，连结EP、ECzyxD1C1B1A1DCBAPCBAMDPCBAPCBAM本卷第3页（共9页）2222222222,3873124160RtPAEPEPAAERtCBECEBCBE中中在PCE中，cosPCE＝2222PCCEPEPCPE＝16916073213410＝161065所以PC与BD成角的余弦值为161065.点评：长方体模型对于确立PCE起了很大的作用.二、长方体的“一角”模型在三棱锥PABC中，,,PAPBPBPCPCPA，且,,PAaPBbPCc.①以P为公共点的三个面两两垂直；②△ABC是锐角三角形证明：设,,PAaPBbPCc△ABC中2222222222222()()()cos022()()ABACBCabacbcAABACabac.所以A为锐角，同理,BC也为锐角.③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心④三棱锥PABC的高222222abchabbcca设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.在△PAD中，EDPCBAPCBAcbaHPCBAcbaDHPCBAcba本卷第4页（共9页）222222222222()()bcaabcbcPHbcabbccaabc这个结果也可以这样说：如果在三棱锥PABC中，在底面上作ADBC于D，连结PD，则PDDC.或者说：作,,PDBCAD连结则ADBC.这将来对二面角的平面角有好的影响.⑤,,PBCAPCABPABC二面角的平面角分别是222222arctan,arctan,arctanabcbaccabbcacab.⑤体积：16Vabc;⑥它的外接球直径是222abc.例4、四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，,1EAABCDEA面，求ADEB的大小.分析：考虑三棱锥AEDB，它就是模型2－长方体的“一个角”.本来我们可以利用arctan…，这儿只要过A作AFDE，连结BF，于是BFDE.则AFB就是二面角A－DE－B的平面角，只要把这个角算出就行.首先△BAF是直角三角形，原因是BAF是直角.在Rt△BAF中22arctanarctanarctan3121(2)ABBFAAF所以60BFA.我们看到象例4这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例5、直二面角DABE中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，F为CE上的点，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面PDCBA本卷第5页（共9页）ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.补充图形，在正方体1111ABCDABCD看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.3142232,323BCBABBBF所以，D到面ACE的距离为233.点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.例6底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1（见图），求C点到面AEC1F的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C1E，交CB的延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM是模型2.OD1C1B1A1FEDCBANMEDC1FCBA本卷第6页（共9页）因为13,,321CCCMCMCMCNBCBECM同理13,,1242CCCNCNCNCNCDDFCN.所以，C到面C1MN的距离为3312433119991449144.点评：利用模型解法比高考试卷评分标准中答案要简单得多.三、公式12coscoscos的几何模型PBPA平面，是的斜线,B,AB是PB在内的射影，BC是内一条直线12,,,PBCPBAABC则有12coscoscos.大家要注意搞清楚那个是，那个是1，那个是2，实际上只要搞清那个是，另外两个就是12,.内的直线不一定过B，如右图所示：在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，12,.PBAADC则12coscoscos那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.例7EA⊥面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成60角.分析：12EPAAPMEPMcoscoscosEPAAPMEPM即212,221APAP所以112APAC.21PCBADPNMDCBAE21PCBA本卷第7页（共9页）可见AC中点即是要找的点P例8长方体1111ABCDABCD中，AB＝2，AA1＝1，BD与面AA1B1B成30°角.AE⊥BD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角.解：12coscoscoscos45cos(9030)＝212.224所以AE，BF成角为2arccos4.这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.四、正四面体正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图，正四面体ABCD，E、F分别是对棱BC、AD的中点，△AED是它的对称面，若正四面体的棱长为1，通过解△AED，可得它的对棱距离22EF.高63AG，内切球半径6412AGr，外接球的半径3644AGR，表面积为3，体积为1212，相邻面所成的角的平面角为1arccos3AED，侧棱与底面成的角为3arccos3ADE.例1如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF＝2，则该多面体的体积为（）D1C1B1A1FEDCBAGFEDCBAFEDCBA本卷第8页（共9页）A.23B.33C.43D.32分析：多面体ABCDEF是由一个侧面为正方形ABCD的正三棱柱，与一个边长为1的正四面体组合而成.这个正三棱柱的侧棱与对面的距离（即EF与面ABCD的距离）等于正四面体的对棱距离，因此它的体积为1222122123V，故选A.例2将半径都为1的4个小球完全装入正四面体的容器里，这个正四面体高的最小值为（）A.3263B.2623C.2643D.43263分析：这四个小球放入后，它们的球心也形成了一个边长为2的正四面体，这个四面体与正四面体容器有公共的中心（内切球与外接球的公共球心），中心到各个面的距离是它的半径，而中心到两个正四面体的对应面的距离相差1，若四面体的边长为2，对应这个距离为662126，容器的中心到面的距离为616，则容器的高是它的四倍，故应选C.五、双垂四面体如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：（1）它的四个面都是直角三角形；（2）coscoscosADCADBBDC；（3）以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是DBC与ACB；（4）以AD为棱的二面角为，则cosABCDACBD；（5）对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；（6）对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则cosBCAD，等等.例3如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为3的等图3DCBAO1O图4DCBA本卷第9页（共