7大学物理习题及综合练习答案详解

大学物理练习册—真空中的静电场25库仑定律7-1把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M＝5.98l024kg，月球的质量m=7.34l022kg。（1）求Q的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。解：（1）设Q分成q1、q2两部分，根据题意有2221rMmGrqqk，其中041k即2221qkqGMmqqQ。求极值，令0'Q，得0122kqGMmC1069.5132kGMmq，C1069.51321kqGMmq，C1014.11421qqQ（2）21qmqM，kGMmqq21kGMmmqmqMq2122解得C1032.61222kGmq，C1015.51421mMqq，C1021.51421qqQ7-2三个电量为–q的点电荷各放在边长为l的等边三角形的三个顶点上，电荷Q（Q＞0）放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q值应为多大？解：Q到顶点的距离为lr33，Q与-q的相互吸引力为20141rqQF，两个-q间的相互排斥力为220241lqF据题意有10230cos2FF，即2022041300cos412rqQlq，解得：qQ33电场强度7-3如图7-3所示，有一长l的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+，则杆上距原点x处的线元dx对P点的点电荷q0的电场力为何？q0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度=kx，k为正常数，求P点的电场强度。解：（1）线元dx所带电量为xqdd，它对q0的电场力为200200)(d41)(d41dxalxqxalqqFq0受的总电场力)(4)(d4000200alalqxalxqFl00q时，其方向水平向右；00q时，其方向水平向左q0图7-3alPOxqqqlllrQrr大学物理练习册—真空中的静电场26（2）在x处取线元dx，其上的电量xkxxqddd，它在P点的电场强度为2020)(d41)(d41dxalxkxxalqEP)ln(4)(d40020alaalkxalxxkElP方向沿x轴正向。7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图7-4所示，求半圆中心处电场强度。解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q和-q在O点电场强度沿x轴的分量之和为零。取长为dl的线元，其上所带电量为d2d2d21ddqRRqlRqlq，20d41dRqE方向如图y方向的分量cos2dcosd41d20220RqRqEyjRqjRqE20220202dcos227-5一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度。解：沿半球面的对称轴建立x轴，坐标原点为球心O。在球面上取半径为r、宽为dl的环带，如图，其面积为d2d2dRrlrS，所带电荷d2ddRrSqdq在O处产生的电场强度为，2322023220)(d2)(d41drxxrRrxqxEsinRr，cosRxdcossin2d0E因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向相同，iiE02004dcossin27-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为，平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理）解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。无穷大平板的电场为neE012图7-4++++R图7-6RPxROr大学物理练习册—真空中的静电场27圆盘激发的电场为neRxxE)1(22202，其中ne为平板外法线的单位矢量。圆孔中心轴线上的电场强度为neRxxEEE220212电通量7-7电场强度为E的匀强电场，其方向与半径为R的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S’与半球面S构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理0ddd''SSSSSESESEERRESESESSS22'cosdd7-8一边长为a的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场jEikxEE21)(，E1、E2为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。解：0zE0DEFGOABCSSABGFaESEjSjEikxESE22221)(d])[(dSSCDEOaEjSjEikxESE2221)d(])[(dSSAOEFaEiSjEiESE2121)d()(dSSBCDGakaEiSjEikaESE2121)()(d])[(d整个立方体表面的电场强度通量3kaii高斯定理7-9有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R1和R2，已知外球面的电荷面密度为+，其外面各处的电场强度都是零。试求：（1）内球面上的电荷面密度；（2）外球面以内空间的电场分布。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为'。（1）2Rr处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有0)4'4(11d2122003RRqSEiiS，得212)('RR（2）由高斯定理011ERr图7-7ERABCOEFGDxyz图7-8大学物理练习册—真空中的静电场2821RrR21024'1dRSES即210224'14RrE2022202121220212)(44'rRrRRRrRE方向沿径向反向7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位长度的电量分别为1和2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若1＝-2，情况如何？画出此情形下的E～r的关系曲线。解：（1）作一半径为r、长为h的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有011ERr21RrRhSES1021dhrhE10212，得rrEˆ20122RrhSES)(1d2103得rrEˆ20213（2）21时，01E，rrEˆ2012，03E7-11设半径为R的球体，电荷体密度═kr（rR），其中k为常量，r为距球心的距离。求电场分布，并画出E～r的关系曲线。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理Rr40020011d41d1dkrrrkrVSErVS即402114krrE得rkrEˆ4021Rr4002021d41dkRrrkrSERS即402214kRrE得rrkREˆ420427-12一厚度为d=0.5cm的无限大平板，均匀带电，电荷体密度═1.010-4C/m3，求（1）平板内外的电场分布；（2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距0.1cm处的电场强度。解：（1）设中心平面为S0。根据对称性，在距S0处为x处对称地取两面积均为S的底面作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直（如图所示），即侧面的电通量为零。2dx时SxSESES212d011，xE01ErO1R2RErOR大学物理练习册—真空中的静电场292dx时SdSESES2212d022，02dE（2）平板中央0x，00E平板内与表面相距0.1cm处，cm15.0x4123401069.11085.8105.1100.1xEV/m7-13一个电荷体密度为（常量）的球体。（1）证明球内距球心r处一点的电场强度为rE03；（2）若在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场aE03，式中a是球心到空腔中心的距离矢量。证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理VSVSEd1d0即302344rrErE03矢量式rE03得证（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为和-的电荷球体，形成电荷密度分别为和-的大球体和小球体。对腔内任一点P（如图），由（1）的结果有大球rEP013；小球'302rEParrEEEPP00213)'(3得证静电场的环路定理7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该点离O点的距离成反比，即E1r1=E2r2。证：作一回路abcd，如图。根据静电场环路定理0ddd221121lElElElElEdabc即2211lElE11rl22rl，2211rErE得证Or1r2图7-14SS0SdxxO’ORaO’r'rPabcd1l2l2r1rO大学物理练习册—真空中的静电场307-15证明：在静电场中，凡电场线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利用环路定理和高斯定理）证：设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1和2，作两底面足够小的圆柱面，如图。由高斯定理0ddd1212SESESESESESSS12EE即同一电场线上任意两点的电场强度相等。作一矩形回路abcd，其中ab、cd与电场线垂直，bc、da与电场线平行，即有cbdaEEEE，由静电场环路定理dacdbcablElElElElEddddddabclElEdd0lElEababEE即不同电场线上任意两点的电场强度相等。所以命题成立。电场力的功和电势能7-16边长为a的正三角形,三个顶点上各放置q，-q和-2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电量为+Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？解：顶点到重心的距离ar33，重心的电势为aqrqrqrqU0000234244外力所做的功aqQQUUUQA00023)(外7-17如图7-17所示，三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一直线等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一点电荷所受合力均为零。求Q1、Q3固定情况下，（1）Q2在O点时的电势能；（2）将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功。解：（1）Q1和Q3在O点产生的电势为dQdQdQU003010244因为Q1所受合力为零，即0)2(4420312021dQQdQQ，解得QQQ414132，Q2在O点的电势能dQQUUQW02002841（2）将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功aqQUQUUQA0020283)(外图7-17Q1Q2OQ3ddE12Eabcd大学物理练习册—真空中的静电场317-18一半径为R的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为。（1）