东北大学-复变函数与积分变换上课PPT-第二章

第二章复变函数的积分本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.§2.1复变函数的积分1积分的概念2积分存在条件及性质3积分的计算2.1.1积分的概念1,,,,knnzzzZ定义2.1设C是复平面上以z0为起点,Z为终oxy0zZ1nzkz1kz2z1zC有向简单连续曲线，()fz是C上的复变函数.在C上依次取分点把曲线C分割为n个小段.(如图)011,,,,kzzzoxy0zZ1nzkz1kz2z1zkC12在每个小弧段11,2,,kkzzkn上任取一点(1,2,,),nkn做和数1(),nnkkkSfz其中，1kkkzzz1,2,,.kn令1max.kknz如果分点的个数无限增多，并且极限存在,则称该极限值为函数在曲线C上的积分,()fz001limlim()nnkkkSfz并记作()d,Cfzz即01()dlim().nkkCkfzzfz如果C是闭曲线，经常记作()d.Cfzz当C是实轴上的区间,,ab方向从a到b,并且()fz为实值函数，那么这个积分就是定积分.2.1.2积分存在的条件及积分性质nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111]),(),([]),(),([)(Czzfd)(Cyvxudddd.Cvxuyi定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向曲线，()(,)(,)fzuxyivxy在C上连续，则()dCfzz存在，并且Czzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxu从形式上可以看成Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi定理2.2设光滑曲线:()()()(),Czztxtiytt()z是起点,()z是终点，则()d[()]()dCfzzfztztt[(),()]()[(),()]()duxtytxtvxtytytt[(),()]()[(),()]()d.ivxtytxtuxtytytt[(),()][(),()]()()duxtytivxtytxtiytt复变函数的积分具有如下一些性质.(1)()d()d;CCfzzfzz;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf(4)设C1的终点是C2的起点,C=C1+C2,则(k是复常数);(2)()d()dCCkfzzkfzz12()d()d()d;CCCfzzfzzfzz11()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs1,nkkMsML其中,ks是kz与1kz两点之间弧段的长度.根据积分定义，令0,即得性质(5).估值不等式事实上,(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足()d()d.CCfzzfzsML(),fzM则例2.1设C是复平面上以z0为起点,z为终点的分段光滑(或可求长)曲线，则01d.Czzz解根据积分的定义100111dlimlim()nnkkkCkkzzzz000lim().zzzz2.1.3积分的计算解zxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20inneri例2.2计算积分101d()nCzzz(n是整数),其中C是圆周:0(0)zzrr的正向.zxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(1102π0(cossin)d0.nininrrzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.解(1)积分路径的参数方程为()(01),zttittRe,d(1)d,ztzitCzzdRe10d)1(tit);1(21ixyoi11id)1(d102ttizzC120(1)d.itti例2.3计算积分RedCzz与d,Czz其中C为(1)从原点到1+i的直线段；(2)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；(3)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.(2)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttzRe,d(12)d,ztztitCzzdRe10d)21(titt1230212;2323titidCzz102d)21)((tititt1320[(2)3]d.ttittixyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为()(01),zttt1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittzRe,dd,ztztRe1,dd,zzitCzzdRe10dtt10d1ti.21idd10ttzzCd)1(10tiit.i都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不注意1从例2.3看到,积分d,CzzRe()dCzz和相同的路径进行,但是积分值不同,Re()dCzzdCzz积分值相同.是否可以讨论积分与积分路径的关系?注意2一般不能将函数f(z)在以为起点,以为终点的曲线C上的积分记成因为()d,fzz积分值可能与积分路径有关,所以记()d.Cfzz§2.2Cauchy积分定理1Cauchy积分定理2复合闭路定理3典型例题首先给出推广的Green公式:设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数(,)Pxy和(,)Qxy在D上具有一阶连续偏导数,则有dddd,DLQPxyPxQyxy其中L是D的取正向的边界曲线.2.2.1Cauchy积分定理在单连通区域D上连续,设(,),(,)PxyQxy在D上存在,,QPxy并且QPxy在D上连续,则对任何D内的可求长Jordan曲线C,都有dd()dd,CGQPPxQyxyxy其中G是C围成的区域，C取正向.定理2.3(Cauchy积分定理)设f(z)是单连DC说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.通区域D上的解析函数，则对D内的任何可求长Jordan曲线C,都有()d0.Cfzz证明根据()ddddd.CCCfzzuxvyivxuyCyvxudd()ddDvuxyxy0,CyuxvddddDuvxyxy0.0,uvyx0.uvxy由改进的Green公式定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向曲线，()(,)(,)fzuxyivxy在C上连续，则()dCfzz存在，并且()ddddd.CCCfzzuxvyivxuy定理2.1因为f(z)解析,所以u(x,y)和v(x,y)在D内可微,且注意2若曲线C是区域D的边界,函注意1定理中的C可以不是简单曲线.DC函数f(z)在D内解析,在闭区域上连DDC()d0.Cfzz续,则注意3定理中D是单连通区域的假设不可缺少.例如函数1()fzz在区域13:22Dz内的曲线:1Cz上积分,参看0102,0,1d()0,0.nzzrinzzzn例2.2.积分值与圆周的中心、半径无关.解因为函数11d0.23zzz例2.4计算积分z11d.23zz1()23fzz在上解析,所以根据Cauchy积分定理,有1z解211111.(1)2zzzzizi根据Cauchy积分定理得212d)1(1izzzz21d1211211izzizizz例2.5计算积分2121d.(1)zizzz因为1z和1zi都在12zi上解析,所以212121d121d121d1izizizzizzizzz021d121izzizi221.i这里用到了0102,0,1d()0,0.nzzrinzzzn例2.2.积分值与圆周的中心、半径无关.2.2.2复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCCDCA1A2A3A4C1C2EFGIH证明不妨设n=2.作两条辅助线(如图).1234,AAAA这样由12344321EAAFAAGAAHAAIE作为边界G,围成单连通区域.()d0.fzzG11,CEAAIIE1122334444332211.EAAAAFFAAAAGGAAAAHHAAAAIIEG12332,CAFFAAHHA244.CAGGAf(z)在G所围的区域内解析,由定理2.3(Cauchy积分定理)设f(z)是单连DC说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.通区域D上的解析函数，则对D内的任何可求长Jordan曲线C,都有()d0.Cfzz21.0d)(CCCzzf,0d)(d)(d)(21CCCzzfzzfzzf.d)(d)(d)(21CCCzzfzzfzzf当n为其它值时，可同样证明.在公共边界(辅助线)上,积分两次,方向相反,积分值之和等于0.所以2.2.3典型例题解显然函数xyo1G例2.6计算积分其中G为包含圆周221d,zzzzG在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.1z221()zfzzz在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.xyo1G1C2CGzzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220ii.4i在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含奇点1.根据,复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCCxyo121C2C解显然C1和C2围成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzzG例2.7计算积分d,zezzG其中G由正向圆周2z和负向圆周1z组成.个圆环域.函数()zefzz在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界构成复合闭路,所以根据,复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1