第五章平面向量5.3平面向量的数量积

洪老师的高考必备资料库特供-1-§5.3平面向量的数量积考纲展示►1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点1平面向量的数量积的运算1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．答案：(2)|a||b|cosθ|a||b|cosθ(3)|b|cosθ2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．答案：(3)a·c＋b·c(1)[教材习题改编]在△ABC中，AB→·BC→0，则△ABC是________三角形．答案：钝角解析：由向量夹角的定义可知，AB→与BC→的夹角为π－B，则AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(π－洪老师的高考必备资料库特供-2-B)0，得cos(π－B)0，∴cosB0，即角B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．(2)[教材习题改编]在▱ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则AB→·AD→＝________.答案：－4解析：在平行四边形ABCD中，AD→＝BC→，∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，∴AB→·AD→＝AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos∠BAD＝4×2cos120°＝－4.与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律．下列说法正确的有________个．①向量b在向量a方向上的投影是向量；②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.答案：0解析：①向量b在a方向上的投影是数量，为|b|cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0；②a·b＞0与a和b的夹角为锐角不等价，a·b＞0还包含a和b同向的情形．同样a·b＜0不仅包含a和b的夹角为钝角，还包含a和b反向的情形；③由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；④a·b＝0⇔|a||b|cosθ＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0，因此，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b.[典题1](1)[2017·四川成都模拟]在△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足AMMC＝MPPB＝2，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，∠BAC＝90°，则AP→·BC→＝()洪老师的高考必备资料库特供-3-A．1B．－23C.143D．－13[答案]B[解析]由题知，BC→＝AC→－AB→，MB→＝AB→－AM→＝AB→－23AC→，AP→＝AM→＋MP→＝AM→＋23MB→＝23AB→＋29AC→，AP→·BC→＝23AB→＋29AC→·(AC→－AB→)＝23AB→·AC→－23AB→2＋29AC→2－29AB→·AC→＝－83＋2＝－23.(2)[2017·安徽合肥联考]已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为________．[答案]2[解析]∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×12＝7，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a＋b，a〉＝a＋b·a|a＋b||a|＝1＋17＝277.∴a＋b在a上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝7×277＝2.[点石成金]向量数量积的两种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题洪老师的高考必备资料库特供-4-已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案：11解析：解法一：如图，DE→·CB→＝(DA→＋AE→)·CB→＝DA→·CB→＋AE→·CB→＝DA→2＝1.DE→·DC→＝(DA→＋AE→)·DC→＝DA→·DC→＋AE→·DC→＝AE→·DC→＝|AE→|·|DC→|≤|DC→|2＝1.解法二：以射线AB，AD为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，洪老师的高考必备资料库特供-5-设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，∴DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.∵DC→＝(1,0)，∴DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.解法三：由图知，无论点E在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1.当E运动到点B时，DE→在DC→方向上的投影最大即为|DC→|＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.考点2平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝________.(2)模：|a|＝a·a＝________.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.洪老师的高考必备资料库特供-6-(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔________.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.答案：(1)x1x2＋y1y2(2)x21＋y21(4)x1x2＋y1y2＝0(1)[教材习题改编]已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝43，则a与b的夹角θ＝________.答案：30°(2)[教材习题改编]已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝________.答案：±55平面向量数量积的常用结论．(1)对任意向量a和b，(a＋b)·(a－b)＝________.(2)对任意向量a和b，(a＋b)2＝__________.(3)若两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b________0.(4)若两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b________0.答案：(1)a2－b2(2)a2＋2a·b＋b2(3)(4)[考情聚焦]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．主要有以下几个命题角度：角度一平面向量的模[典题2](1)[2015·浙江卷]已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[答案]233洪老师的高考必备资料库特供-7-[解析]∵e1·e2＝12，∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝10，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝132＝233.(2)[2017·河北石家庄模拟]已知平面向量a，b的夹角为2π3，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝________.[答案]3[解析]∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2|a||b|cos2π3＋1＝5－2＝3，∴|a＋b|＝3.角度二平面向量的夹角[典题3](1)[2017·湖南衡阳八中高三月考]若向量a，b的夹角为π3，且|a|＝2，|b|＝1，则a与a＋2b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]A[解析]设向量a与a＋2b的夹角等于α，因为向量a，b的夹角为π3，且|a|＝2，|b|＝1，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2×2×1×cosπ3＝6，|a＋2b|＝a＋2b2＝4＋4＋4×2×1×cosπ3＝23，洪老师的高考必备资料库特供-8-∴cosα＝aa＋2b|a||a＋2b|＝62×23＝32.∵α∈[0，π]，∴α＝π6.故选A.(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.[答案]2[解析]∵b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝12t＋1－t＝－12t＋1＝0，∴t＝2.角度三平面向量的垂直[典题4]已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．[答案]712[解析]BC→＝AC→－AB→，由于AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0，即(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝－λAB→2＋AC→2＋(λ－1)AB→·AC→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得λ＝712.[点石成金]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a||b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°洪老师的高考必备资料库特供-9-C．60°D．120°答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC＝30°.2．[2016·北京卷]设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0.|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.3．[2015·重庆卷]若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π答案：A解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝22.洪老师的高考必备资料库特供-10-又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ