等比数列的概念(区公开课比赛一等奖)

名称等差数列概念常数性质通项通项变形dnaan)1(1()nmaanmd*(,)nmN旧知回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零（2）一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。以上两个实例所包含的数学问题:创设情景,引入新课（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”1，，，，，…214181161(1)1，2，4，8，16，32，…(2)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（q）。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（d）。等比数列等差数列等比数列概念课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=21观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2),161,81,41,21(5)1，0，1，0，…(6)0，0，0，0，…1.各项不能为零,即0na2.公比不能为零,即0q4.数列a,a,a,…0a时,既是等差数列又是等比数列;0a时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q0，各项与首项同号当q0，各项符号正负相间对概念的更深理解等差数列通项公式的推导:(n-1)个式子daa12daa23daa34daann21daann1……dnaan)1(1方法一:(累加法)daa12dnaan)1(1dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31……方法二:(迭代法)1nnaadqaann1等比数列通项公式的推导：2n(n-1)个式子11nnqaa……方法一:累乘法qaa12qaa23qaa34qaann1qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……方法二:迭代法11nnqaa等比数列的通项公式11nnqaa当q=1时，这是一个常函数。0na等比数列，首项为,公比为q,则通项公式为na1a在等差数列中na()nmaanmd*(,)nmN试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求？如果能，请写出表达式。namananmnmaaq*(,)nmN变形结论:等比中项的定义如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项在这个定义下，由等比数列的定义可得2GbaGGabGab即等比数列的通项公式练习课后练习P53A1，7例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是,公比是q，那么82331612qaa3161a23q解得，，因此316答：这个数列的第1项与第2项分别是与8.1a1831qa1221qa典型例题课堂互动（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.(1)一个等比数列的第5项是,公比是，求它的第1项；943151114()39a136a解得，答：它的第一项是36.解：设它的第一项是，则由题意得1a解：设它的第一项是，公比是q，则由题意得1a答：它的第一项是5，第4项是40.101qa2021qa，51a2q解得，，40314qaa因此等比数列名称等差数列概念常数性质通项通项变形dnaan)1(1()nmaanmd*(,)nmN回顾小结11nnqaanmnmaaq*(,)nmN从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)q可正可负,但不可为零从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零等比数列的例题.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn它是一个与n无关的常数，所以nnba是一个以为公比的等比数列21qqnnnnqbqaqbqa2111121111与例2已知nnba,是项数相同的等比数列，nnba是等比数列.求证证明:设数列na首项为1a,公比为;1qnb首项为1b,公比为2q那么数列的第n项与第n+1项分别为：nnba111121112()()nnabqqabqq与即为例3、等比数列{an}中，a4·a7=－512，a3+a8=124,公比q为整数，求a10.法一：直接列方程组求a1、q。法二：在法一中消去了a1，可令t=q5法三：由a4·a7=a3·a8=－5120512124323aa412833aa或128441288383aaaa或∵公比q为整数128483aa3241285q2q∴a10=a3×q10－3=－4×(-2)7=512合作交流