模糊理论基础

智能控制原理及应用第二章模糊理论基础制作人柏艳红模糊数学模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清”的意思。而数学是非常严格、非常精确的东西。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）。“模糊”是指它的研究对象，“数学”是指它的研究方法。模糊概念在自然语言中，常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。如健康状况一栏中，填“好、比较好、良好等”，至于什么样的身体属于好，什么样的属于良，很难确切地规定。再如，将人按年龄分为“年轻人、中年人、老年人”（从宏观上把握事物的主要特征和便于处理，人为将其模糊化）。再如，在水箱液位、温度等控制中，有经验的操作工会根据被控制量的大小（高，过高、低），操作阀门等（开大、开小）。引言普通数学对模糊概念的描述以年龄为例，传统的方法是规定一些域值来定义的。用y代表年龄，y40为“年轻”，40=y60为“中年”，y=60为“老年”。这种方法简单，但过于绝对化。实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年，再走向老年的，这些概念之间本来就没有明确的界限。传统数学的基础是集合论，这些集合的边界必须是明确的，一个对象要么属于，要么不属于，二者必居其一。传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念，模糊数学便应用而生。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国的自动控制专家L.A.Zadeh教授，他创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。模糊技术的应用领域地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。引言第一节模糊集合及其运算2.1.1模糊集合的定义及相关概念1．模糊集合（FuzzySets）给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射μAμA：U[0,1]uμA(u)都确定U上的一个模糊子集A，简称模糊集。μA称为模糊集合A的隶属函数（MembershipFunction）。若论域中的元素用x表示，则μA(x)称为x属于A的隶属度（degreeofmembership）。隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。μA(x)接近1，表示x属于A的程度高；μA(x)接近0，表示x属于A的程度低。论域隶属函数模糊集合的两要素theuniverseofdiscourse2.1.1模糊集合的定义及相关概念2.1.1模糊集合的定义及相关概念例如：用论域[1，100]上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”，A、B、C的隶属函数μA(x)、μB(x)、μC(x)如图所示。20304050607080u1μμA(u)μB(u)μC(u)30岁的年轻程度为0.75。40岁的人已经不太年轻（0.25），比较接近中年，但属于中年的程度还不太大（0.5），50岁正值中年（1），即将走向“老年”。显然，用模糊集合能够比较准确地、真实地描述人们头脑中的原有概念，而用普通集合描述模糊性反倒是不准确、不真实的。2.1.1模糊集合的定义及相关概念2．台集合（Support）模糊集合A的台集AS是一个普通集合，它由论域U中满足μA(u)0的所有u组成。即}0)(|{uUuAAS如果模糊集合A的台集仅有一个元素u0，且μA(u0)=1，则A就是单点模糊集。3．单点（singleton）模糊集00)()(uuuAA模糊集合的Zadeh表示法为4．凸模糊集2.1.1模糊集合的定义及相关概念若A为以实数R为论域的模糊子集，其隶属函数为μA(x)，如果对于在任意实数axb，都有)}(),(min{)(baxAAA则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。2.1.2模糊集合的表示法一、离散论域设论域为有限集},,{21nxxxUnnAAAxxxxxxA)()()(2211))}(,())(,())(,{(2211nAnAAxxxxxxA1.Zadeh表示法2.序偶表示法3.向量表示法)]()()([21nAAAxxxA隶属度为零的项可以不写隶属度为零的项必须写2.1.2模糊集合的表示法例在由整数1，2，……10组成的论域中，即U={1，2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊集A可表示为83.077.0615147.033.01009083.077.0615147.033.02010A由上式可以看出，用“几个”表示5个、6个的可能性最大，而通常不采用“几个”表示1个、2个或9个、10个。)}3.0,8(),7.0,7(,)1,6(,)1,5(),7.0,4(,)3.0,3{(A)0,0,3.0,7.0,1,1,7.0,3.0,0,0(A2.1.2模糊集合的表示法二、连续论域Zadeh表示法为UAxxA)(例以年龄作论域，取[0，200]，用模糊集Y表示“年轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为20050)505(115000)(2uuuuO20025)525(112501)(2uuuuY2550100u1μμY(u)μO(u)0“年轻”和“年老”模糊集合可以写为2005012500])505(1[0uuuuuO2002512250])525(1[1uuuuuY2.1.2模糊集合的表示法2.1.3模糊集合的基本运算设论域U上的两个模糊子集A和B，它们之间的交、并、补运算定义如下。1.F交集A与B的交集，记作A∩B，有UuuuuuuBABABA)},(,)(min{)()()(2.F并集A与B的并集，记作A∪B，有UuuuuuuBABABA)},(,)(max{)()()(2.1.3模糊集合的基本运算3.F补集A的补集，记作AC，有UuuuAAC,)(1)(μ0AB1uμ0AB1uμ0A1uACA∩BA∪B第二节常用隶属函数1．三角型隶属函数TriangularMFabc01xxccxbacxcbxaabaxaxxf00)(a为三角形左边底角的顶点坐标，b为顶角顶点坐标，c为右边地角顶点的坐标。Matlab函数Trimf（x，[abc]）第二节常用隶属函数2．梯型隶属函数TrapezoidalMFa为梯形左边底角的顶点坐标，b为左边顶角顶点坐标，c为右边顶角顶点的坐标，c为右边底角顶点的坐标。Matlab函数Trapmf（x，[abcd]）abc01xdxddxccdxdcxbbxaabaxaxxf010)(第二节常用隶属函数3．高斯型隶属函数GaussMFc为函数的中心点，a为函数曲线的宽度。Matlab函数Gaussmf（x，[ac]）024681000.20.40.60.81a=2a=122)()(acxexf第二节常用隶属函数4．Sigmoid型隶属函数当a为正时，向右斜；a为负时，向左斜；a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。Matlab函数sigmf（x，[ac]）)(11)(cxaexf024681000.20.40.60.81a=2a=-2第二节常用隶属函数4．Sigmoid型隶属函数a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。024681000.20.40.60.81c=4c=6024681000.20.40.60.81a=2a=1第二节常用隶属函数5．一般的钟型隶属函数024681000.20.40.60.81Matlab函数Gbellmf（）第二节常用隶属函数6．双边高斯型gaussmf（）7．Z型zmf（）8．π型pimf（）9．双边高斯型gauss2mf（）10．两个sigmoid型函数的积psigmf（）11．两个sigmoid型函数的和dsigmf（）第三节模糊关系及其合成2.3.1模糊关系的定义1.集合的直积设有两个集合X，Y，X和Y的直积X×Y定义为},|),{(YyXxyxYX它是由序偶（x，y）的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说X×Y≠Y×X。2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义2.模糊关系及模糊矩阵设X、Y是两个非空集合，以直积X×Y为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系，记为RX×Y。（1）模糊关系RX×Y由其隶属函数μR(x,y)完全刻画，μR(x,y)表示了X中的元素x和Y中的元素y具有关系RX×Y的程度。（2）当X和Y为有限离散集合时，设X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，ym}，则X和Y的模糊关系RX×Y可用n×m阶矩阵表示，即),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mnRnRnRmRRRmRRRyxyxyxyxyxyxyxyxyxR这样的矩阵称为模糊矩阵模糊矩阵是论域为直积X×Y模糊集。2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义模糊关系和模糊矩阵举例例：X={10，20，40，80}，Y={10，20，30，40}，“x远大于y”这一模糊关系的模糊关系矩阵为当x=40，y=20时，“x远大于y”的程度是0.8。94.096.097.098.005.08.09.00005.000008040201040302010R3.模糊集合的直积2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义若有两个模糊集A和B，其论域分别X和Y，定义在积空间X×Y上的模糊集合A×B称为模糊集合A和B的直积，其隶属函数为YyXxyxyxyxBABABA,)},(,)(min{)()(),()()(),(yxyxBABA或者可见，模糊集合A和B的直积是积空间X×Y上的一个模糊关系。模糊集合A和B的直积所产生的模糊关系在模糊推理及模糊控制中起着十分重要的作用。2.3.2模糊关系和模糊矩阵的合成运算由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算规则。1．模糊矩阵的合成运算设是两个模糊矩阵，它们的合成Q○R指的是一个n行l列的模糊矩阵S，S的第i行第k列的元素sik等于Q的第i行元素与R的第k列对应元素两两先取较小者，然后在所得的结果中取较大者，即lknirqslnjkijmjik1,1,)(1设合成算子“○”代表两个模糊矩阵的相乘，它与线性代数中的矩阵乘积相似，只是把普通矩阵乘运算中对应的元素之间的“乘”用取小运算“∧”来代替，而元素间的“加”用取大运算“∨”来代替。2.3.2模糊关系的合成运算例：已知模糊关系矩阵09.03.01.04.01.05.02.011R3.01.017.09.04.02R1．模糊矩阵的合成运算模糊矩阵的合成运算举例3.01.017.09.04.009.03.01.04.01.05.02.0121RR)0,9.0,3.0()0,7.0,3.0()1.0,4.0,1.0()1.0,4.0,1.0()3.0,2.0,9.0()1.0,2.0,4.0()3.00,19.0,9.03.0()1.00,7.09.0,4.03.0()3.01.0,14.0,9.01.0()1.01.0,7.04.0,4.01.0()3.05.0,12.0,9.01()1.05.0,7.02.0,4.01(9.07.04.04.09.04.0设A为论域X上的模糊集合，B为论域Y上的模糊集合。根据上述模糊集合的直积和模糊矩阵的合成的定义，当X和Y为离散论域时，A与B的直积（取小运算）为BABAT5.08.01.0A14.03