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洛必达法则使用中的洛必达法则使用中的洛必达法则使用中的洛必达法则使用中的5555种常见错误种常见错误种常见错误种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过AeAln=进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,HospitalRule）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。首先，复述洛必达法则的其中一种情形：HospitalRule：10)(lim)(lim==→→xgxfaxax2在某),(0δaU内，)(),(xgxf′′存在，且0)(≠′xg3)()(limxgxfax′′→存在（或者∞）则)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax′′=→→█失误一不预处理例例例例1111错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→)1(1lim)(limlim2101010xeexxexxxxxx正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim1limlim101010xxexexexxxxxx█失误二急躁蛮干例：错解21126lim2126lim42633lim34223lim112212331==−=−−−=+−−+−→→→→xxxxxxxxxxxxxx正确解：532126lim42633lim34223lim12212331=−=−−−=+−−+−→→→xxxxxxxxxxxxx例例例例2222：错解122sincoscoscoslimcossinsinlimsincoslim000==−++=++=−=→→→xxxxxexxxxexxxexxxxxx正确解：∞=++=−=→→xxxxexxxexxxxcossinsinlimsincoslim00更好的解法：∞=+=−=−=→→→xxexxexxxexxxxxx2sinlimcoslimsincoslim0200经验：先考虑无穷小代换(与与与与““““0000””””结合结合结合结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例例例例3333402220220)cos(sinsinlimcossinsinlim)1(2sin21cos1lim2xxxxxxxxxxxexxxxxxxx−=⋅−=−−−→→→＝313sinlimcossinlim2030==−→→xxxxxxxxx█失误三失误三失误三失误三对离散点列求导对离散点列求导对离散点列求导对离散点列求导例例例例4444求nnn+∞→lim错解：属于0∞型，先进行变形1limlimlim011limlnlimln11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→eeeennnnnnnnnnnnnn错误原因：nnnf=)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。正确的解：1limlimlim011limlnlimln11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→eeeexxxxxxxxxxxxxx因为1lim=+∞→xxx所以1lim=∞→nnn（这是“一般”到“特殊”的过程）█失误四)()(limxgxf′′异常（既不是常数A，也不是∞）例例例例5555：：：：错解：1cos1limsinlimxxxxxx+=+∞→∞→，而1cos1limxx+∞→不存在，所以xxxsinlimx+∞→不存在正确解：1)1sin1(limsinlimxx=⋅+=+∞→∞→xxxxx存在例例例例6666：：：：错解：xxxxxxxxcos3sin2limsin3cos2lim−−=−+∞→∞→，因为xxxcos3sin2lim−−∞→不存在，所以xxxxxsin3cos2lim−+∞→不存在正确解：32sin3cos2limsin3cos2lim=−+=−+∞→∞→xxxxxxxxxx█失误五滥用导函数的连续性例例例例7777设)(xf′在某),0(δU存在，且2)0(,1)0(=′=ff求)(1lim0xfxx−−→错解：21)0(1)(1lim)(1lim00=′=′−−=−−→→fxfxfxxx错误原因：)(xf′在x=0处未必连续。（选择题可以用此解法，这是一种策略）正确解：21)0(10)0()(1lim1)(1lim)(1lim000=′=−−=−=−−→→→fxfxfxxfxfxxxx（导数定义）例例例例8888)(xf在x处二阶可导，求20)()(2)(limhhxfxfhxfh−+−+→错解1：hhxfxfhxfhhxfxfhxfhh2)()(2)(lim)()(2)(lim020−′+′−+′=−+−+→→＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−′−−′−′−+′=′−−′+′−+′→→hxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhh)()()()(lim21)()()()(lim2100＝[])()(lim210xfxfh′′−′′→＝0错误原因：没有分清在极限过程中h和x谁是变量，谁是常量错解2：hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)()(lim)()(2)(lim020−′−+′=−+−+→→＝[])()()(lim212)()(lim00xfxfxfhxfhxfhh′′=′′+′′=−′′++′′→→错误原因：二阶导函数未必连续，即：)()(lim0xfhxfh′′=+′′→不一定成立注：由)(xf′′存在，但)(xf′′不一定连续，所以第2个等号后面不符合罗必达法则的条件正确解：hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)()(lim)()(2)(lim020−′−+′=−+−+→→＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−′−−′+′−+′=−′−′+′−+′→→hxfhxfhxfhxfhhxfxfxfhxfhh)()()()(lim21)()()()(lim2100＝)()]()([21xfxfxf′′=′′+′′（这是由导数定义得到的）经验总结：与经验总结：与经验总结：与经验总结：与””””0000””””结合，先验后导，摇摆失效结合，先验后导，摇摆失效结合，先验后导，摇摆失效结合，先验后导，摇摆失效“验”有三个方面，按照需要判断优先级别1是不是∞∞,002f(x),g(x)是不是可导3)()(limxgxf′′是不是一个确定的常数或者∞对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证1，一般可以不必去验证2，3的验证级别最低。这并不是思维的漏洞，而是一种策略，因为题目对于一般函数都成立，则对于特殊函数一定成立；对于侧重于概念的计算题和证明题，要特别注意验证条件。习题：)cot1(lim220xxx−→答案2/3