高层电梯问题

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学参赛队员(打印并签名)：1.魏松2.狄龙3.张伟鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年8月30日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010河南科技大学数学建模选拔赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高层办公楼问题摘要上班时间，员工因等待电梯迟到而焦虑万分是很普遍的问题，也是亟待解决的问题。问题一，要求设计一个最优的电梯调度方案，尽快的把各层的人流尽快送达目的地，通过分析可得电梯载同一层楼的员工可在最大程度上减少候梯时间。将电梯分楼层运送员工，每次电梯都满载，且电梯与电梯间的间隔小于1分钟。然后对每层剩余员工通过合理搭配求出混运的最优解。最后得出电梯运送方案如附表1所示。问题二，本题属线性规划问题，让不同速度的电梯满足要求的同时减少安装成本。利用所给约束条件将楼层分为低、中、高三组，在保证要求的前提下，做出减少电梯成本的方程，最后将电梯分配进行优化，最后求得分配方案为。关键字：最优解，MATLAB，LINGO，满载一、问题重述商用写字楼员工在早上8：20到9：00这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常使员工因等待电梯而焦虑万分，所以，公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。（1）各层楼的办公人数在附表中显示；（2）第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9lm；（3）电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；(4)电梯的额定容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10％；(5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；第一问：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。第二问：如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8m／min，304.8m／min，365.8m／min）。二、问题分析底楼最大等待时间不超过一分钟，即两个电梯之间时间差不能超过一分钟，现在有六部电梯，安排合理的调度方案，把各层人流快速送达目的地。如果电梯里各层员工混合运送，则电梯要多次停留，而延长电梯运送时间，所以考虑一个电梯运送同一楼层的员工。然后将每层余下的人（各层总人数对19取余）进行混运，合理搭配运送方案。问题二，在满足问题一的情况下，通过求解不等式组把电梯合理分为三类，即底层电梯、中层电梯、高层电梯，分别运送低、中、高层楼的员工。按组分配不同速度的电梯以减少费用。三、模型假设1、只考虑人们从第一层进入电梯，不考虑从中间楼层进入电梯；2、电梯的减速在瞬间完成；3、因为是上班高峰期，假设员工以足够密集的时间到达一楼大厅等候电梯，也就是说每当一部电梯到达底层时，都能够满载；4、电梯运行过程中，每次最多载19人，不会超载；5、由于人们是在8：20——9：00到达，做进一步假设，第20、21、28层工作人员在八点二十到八点二十六到达；第19、7、18层工作人员在八点二十六到八点三十二到达；第13、26、27层工作人员在八点三十二到八点三十九到达；第14、15、16层工作人员在八点三十九到八点四十八到达；第22、23、24层工作人员在八点四十八到八点五十五到达；第12层工作人员在八点五十五到八点五十八到达。四、符号约定a————————————————————————————加速度；1h————————————————————————第一层楼的高度；h—————————————————第二层至最高层各层楼的高度；0v———————————————————————电梯最大运行速度；'t————————————————电梯速度由零加至最大所用的时间；0t————————————————————一一次开关电梯的时间；'1t——————————————每个乘客上电梯的平均时间分别为0.8s；'2t—————————————————每个乘客下电梯的平均时间0.5s；it———————满载情况下，电梯由一楼直接到第一楼并返回一楼历时；s———————————————————————电梯运行的总高度；'s——————————————————电梯速度由零加至最大的行程；k—————————————————————————到达的楼层数；l————————————————————一次进入一个电梯的人数；id——————————————————————————第i号电梯；ix——————————————————————————第i层楼；ix————————————————第i层楼梯运行的最佳间隔时间；五、模型建立与求解电梯由低向高的运行过程中，先以加速度2/22.1sma加速运行，直至速度smvv/08.50，运行路长为10.5764m22.1208.522200avs，用时4.1639s5.08/1.22't。之后以速度smv/08.50匀速运行，直至要到达的楼层。当电梯自一楼进入l个人，到达k楼并返回一楼用时用的时间：201''00120''1012(2)222()k3222()k2kvkhhvatttlvathtttlaìïï-?-ïï+?++闯=í+?+?（时）（时）ïïïïïïïïïïî25.08(2)3.917.625.0821.22262(0.80.5)k35.081.2227.62262(0.80.5)k21.22kllìïï-?-ïï´ï=??++闯ïï=íïï´ïï=??+?ïïïî（时）（时）根据上式可知，当满载（19人）时，由一楼到达2-30楼并返回所用的时间分别为：楼层ix时间it楼层ix时间it楼层ix时间it楼层ix时间it12345678——43.768745.403346.942748.48250.021451.560853.100291011121314151654.639556.178957.718359.257660.79762.336463.875765.4151171819202122232466.954568.493970.033271.572673.11274.651376.190777.730125262728293079.269480.808882.348283.887685.426986.9663由上表可知，当楼层数13k³时，满载19人运送并返回历时超过一分钟。比如，当30k=时，3086.9663ts=，若使任意两次间隔时间少于一分钟，则至少给该层楼同时分配的电梯数3086.9663s1.4560bs==，即至少给第30同时分配两个电梯，当两个电梯的间隔时间3086.9663s43.4832ts==时，该楼层的人的等待时间最短，为43.483s60s=1min。同理可得各层楼所需的电梯数目和最佳间隔时间为：楼层ix最少电梯数最佳间隔时间ix楼层ix最少电梯数最佳间隔时间ix楼层ix最少电梯数最佳间隔时间ix1111157.718321236.5562143.768712159.257622237.325653145.403313230.398523238.095354146.942714231.168224238.865055148.48215231.9378525239.63476150.021416232.7075526240.40447151.560817233.4772527241.17418153.100218234.2469528241.94389154.639519235.016629242.7134510156.178920235.786330243.48315当电梯自一楼进入l个人，分别到达m楼和n楼（mn），并且电梯返回一楼用时用的时间：220011''00120022001''0101200''01012(2)2(2)2233()m3(2)(2)22232()m2()22()3()mnvvnhhnhhvaatttlvavvvnhnhhvhaatttlavavtnmhhvhnmhtttlaaa-?-??-++?+?吵-?-?-+++?+??=-+-++?+++、（n-m3且时）（n-m3时且时）2010201''001202(n-m3m=2)(4)222()23()2(n-m3m3)vavvnmhhvnmhatttlaavìïïïïïïïïïïïïïïïïïïíïï-ïïïïïïïïïï+-+-?ïï-ï++??+?ïïïî且时且时201''00120201''0101201''010122(2)23233()m32(2)22232()m2()22()3()vnhhvatttlvavnhhvhatttlavanmhhvhnmhtttlaaa??-?++?+闯???-?+++?+闯==-+--++?+++（n-m3且时）（n-m3且时）200201''001202(n-m3m=2)(4)222()23()2(n-m3m3)vavvnmhhvnmhatttlaavìïïïïïïïïïïïïïïïïïïíïïïïïïïïïïïï+-+-?ïï-ï++??+?ïïïî且时且时225.082(2)3.9127.6235.0821.22363(0.80.5)m35.081.225.082(2)3.917.62227.625.0821.22362(0.80.5)1.225.081.22nlnl????´?+?+闯???-?´´?++?+闯=（n-m3且时）（n-m3且22m25.08(2)3.917.6227.6225.0821.2236(0.80.5)(n-m3m=2)1.221.221.225.085.08(4)3.9127.6225.082()3.9121.2236(0.80.5)2(n-m3m31.221.225.08nlnmnml=-?-创?´?+?++++-???-?´?+??+?时）（n-2)3.91且且)ìïïïïïïïïïïïïïïïïïíïïïïïïïïïïïïïïïïïî带入数据计算可得，33nmm-吵当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：n67891011121314mnt、58.10359.64361.18262.72164.26165.867.3468.87970.418n151617181920212223mnt、71.95873.49775.03676.57678.11579.65581.19482.73384.273n24252627282930mnt、85.81287.35188.89190.4391.9793.50995.048由上可知，当n=6或者n=7时，一个电梯就可以满足间隔时间小于1min.当830n＃