应用随机过程课件

应用随机过程ApplicationofStochasticProcesses范爱华数理科学与工程学院应用数学系8.2701.13654.137702.1365成功的道路并不拥挤，的人并不是很多。因为坚持到最后教材《应用随机过程》主要教学参考书张波张景肖编中国人民大学出版社参考书1.《应用随机过程》林元烈编著清华大学出版社2.《随机过程》王风雨编著北京师范大学出版社前言第1章预备知识1.1概率空间在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象，大体上分为两类：必然现象和随机现象。具有随机性的现象—随机现象对随机现象的观察或为观察而进行的实验—随机试验随机试验的结果—基本事件或样本点。记作记作所有可能的结果称为样本空间。由基本事件组成的子集A—A称为事件。（有3个特征）事件的性质假设A,B,C是任意事件，则他们满足：(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)对偶原则(DeMorgan律)ABBACBACBA)()(CBACBA)()()()()(CABACBA)()()(CABACBABABABABAiiiiAA11iiiiAA11；，则如果）（FAFA2.,,2,131FAiFAiii则，如果）（；）（F1.-代数中的为那么，称F.),(中的元素称为事件为可测空间，FF定义1.1中的某些子集是为样本空间，设F：组成的集合族，若满足性质假代数，则中的任一事件是设-F;)1(F;,,,2,1,)2(11niiniiiFAFAniFA则若果;,,2,1,)3(1iiiFAiFA则若果;,,,)4(FABFBAFBA则若果.-5代数必为代数）（例1.1例1.2例1.3.-代数类是事件的一切事件构成的事件由，由},{F.-代数称作平凡事件},,,{,AAFA对任意事件代数。是事件-.)-(代数常常它为称为最广泛的代数。是事件则-F}};6,5,4,3{},3,2,1{,,{)1(F事件类}};6,5{},4,3}{,2,1{,,{)2(F事件类}};6,4,2}{5,3,1{,,{)3(F事件类随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，思考题：，下列事件是否构成样本空间}6,5,4,3,2,1{代数？-定义1.2).(A记作代数，的最小的上任意包含事件对于-A.)(,2,1,--,1iiiFAiFAAA之交，即代数的事件上包含代数，并且等于最小事件的必定存在含中的任意事件类对于注：代数，生成的称为事件-A结论：中的一个集系，是设A的最小的则包含A.)(-一定存在代数A定义1.3).),,(().(,-.)(,-,-}),,{(-),(,RaaBRBBorelRBorelRBBorelRRaaaRnn显然记作代数上的类似可以定义合集，其中的元素称为记作代数上的称为代数）的最小（即包含代数生成的由所有半无限区间设定义1.4-上的事件是定义在样本空间设F足上的非负集函数，且满是定义在代数，FFAAP),(;1)(01APFA，有）对任意（;1)(P)2(jiAAiFAjii,,,2,13，）对任意（11)(iiiiAPAP）（的概率。称为事件间，称作概率空）上的概率，是则称AAPPFFP)(),,(,(例1.1：],1,0[],1,0[]1,0[BFBorel概率空间：设上的),(,-]1,0[]1,0[FBorelB称代数上的是局限在即]1,0[],[.]1,0[])1,0[],1,0([BbaABorelB可测空间上的为概率空间，上的为，称定义BorelPFabAP]1,0[),(,)(.]1,0[概率测度上的为称BorelP概率的基本性质,0)()1(P)(1)()3(APAP,,)2(FBA若)()()()(ABPBPAPBAP则)()()(APBPABP,,)4(FBABA若)()(BPAPBA若—单调性则)(1nnAP1)(nnAP—次可列可加性1,)5(nFAn若1,,)6(iijiAAAji设有则对任意事件,A1)()(iiAAPAP公式的推广，）性质（Jordan)2(7有对任意nAAA,,,21)(1niiAP1)(iiAPnjijiAAP1)(nkjinnkjiAAAPAAAP1211)()1()(,iA假设事件序列,)1(21nAAA如果,)2(21nAAA如果事件列极限1：nnAlim则nnA1AAnAAnnnAlim则nnA1结论：.)(序列必有极限集合单调事件概率的连续性：)8(的事件序列或递减是单调递增若)(}1,{nAn定理：则)(limnnAP)lim(nnAP具体情况：AAAAAAFAnnnnnn11,,,)1(且即且若AAAAAAFAnnnnnn11,,,)2(且即且若)(AP)(limnnAP)lim(nnAP)(1nnAP)(AP)(limnnAP)lim(nnAP)(1nnAP事件列极限2：，）对于任意事件序列（},2,1,{3nAn},2,1,{knkAn,{knnA},2,1k.因而分别有极限定义1.51kknnAdefnnAinflimnAlim—的下极限nAknnA1kdefnnAsuplimnAlim—的上极限nA例1.2：nnAxsuplim)1(.}{中无穷多个集合属于意味着nAxnnAxinflim)2(中的有限多个集合外，，意味着除去},2,1{nAn.属于该序列的其余集合x关系：nnAinflimnnAsuplim含义：}:{axx___}1:{naxx1)(nA1)(nB例1.3：.}{序列面”和“反面”组成的所以投掷硬币结果“正，的所有子集}{F}.{结果是“正面”第nAn则nnAinflimnnAsuplim}是“正面”有无限多次投掷的结果掷的结果都是除有限多次外，其余投{}.“正面”1.2随机变量和分布函数随机变量：用实数来表示随机实验的各种结果.定义1.6上，是定义在是概率空间，设XPF),,(，，且对上的函数取值于实数集RxXR))((,})(:{FxX上的随机变量。是则称FX)(关于随机变量的几点说明：义它的概率。一个事件，因而可以定中的是的集合，定义要求点的样本是指所有满足),,(})(:{,)(})(:){1(PFaXaXFaX便，简记为自变量，为了书写方定义中)2(})(:{aX},],({}{aXaX，记为以下把XX)(等表示。大写字母一般随机变量符号常用ZYX,,则易证：满足,})(:{)()3(FaXX.}{},{},{},{},{},{,,FbXabXabXaaXaXaXRba定理1.1：下列命题等价：是随机变量；X)1(；RaFaX,})(:{)2(；RaFaX,})(:{)3(.,})(:{)4(RaFaX定义1.7上的随机变量，函数是设FX)()(xF),)(:(xXPx的分布函数。称为随机变量X分布函数的含义：取值表示随机变量分布函数XxF)().(为任意实数x的概率不超过x分布函数的性质：)(xF；）（1)(01xF是非降函数，)()2(xF21xx即);()(21xFxF,0)(lim)3(xFx;1)(limxFx,)()4(是又连续的xF).()(lim)0(xFtFxFxt即随机变量的类型：离散型：kkpxXP)()(xF)(xXPxxkkp11kkp连续型：)(xF)(xXPxdttf)(）为概率密度函数，（其中1)()(dxxfxf)(xfdxxdF)(多维随机变量：),,,(21dXXXX—d维随机向量多维随机变量联合分布函数：),,,(21dxxxF),,,,(2211ddxXxXxXPRxk性质：是联合分布函数，则若),,,(21dxxxF；1),,,(0)1(21dxxxF；对每个变量都是单调的),,,()2(21dxxxF的；对每个变量都是右连续),,,()3(21dxxxF),,,,(lim)4(1dixxxxFi,0),,,,(lim1dixxxxFi,1),,2,1(di),,,()5(21dxxxF121),,,(12dtdttttfddxxxd),,(1dxxfdddxxxxxxF2121),,,(一些常见的分布：1.离散均匀分布：分布列：,1npk),,2,1(nk2.二项分布：分布列：10pn和对固定的)0(,)1(kppCpknkknk.为参数的二项分布和称之为以pn3.几何分布：分布列：),1(,1kpqpkk1qp4.Poisson分布：分布列：0),,1,0(,!kekpkk____参数为的Poisson分布5.均匀分布：密度函数）（其它babxaabxf,0,1)(],[~baUX记作6.正态分布：密度函数Rxxxf,]2)(exp[21)(22分布，的正态分布，也称为和称之为参数为Gauss2),,(~2NX记作.)1,0(~称为标准正态分布NX7.分布：密度函数）（00,00,)()(1xxexxfx函数定义为分布，为参数的，称之为以）（0)(01dxexx函数的性质：);()1()1(;1)1()2(;)21()3(!)1()4(nn8.指数分布：00，分布中，令在0,00,)(xxexfx9.分布：22121为正整数，，分布中，令在nn0,)]2(2[)(22112xexnxfxnn.2分布的称为自由度为n10.d维正态分布：（略）作业题：).(169)(,21)()()(,,,.1APCBAPCPBPAPABCCBA求，且满足设两两独立的随机事件.,0,0,0,)(.222BxxBeAxFXx求的概率分布函数设随机变量1.3数字特征、矩母函数与特征函数征值就够了。特要知道随机变量的某些实际问题中，有时只需在来说是相当不容易的。而确定其分布函数一般率分布（函数）描述，随机变量完全由它的概一、数字特征定义1.8：学期望的离散型随机变量的数取值为）（}{1kxEXkkkpxkkkxXPx)(kkkpx)||(期望连续型随机变量的数学）（2EXdxxxfxxdF)()())(||(xdFx——X的一阶矩阶中心矩的）（kX3kkkEXxdFxm)()()(二阶中心矩即方差2)(XDRxdFEXx)()(2可测函数为设）（BorelRRgdd:4)],,,([21dXXXgE),,(),,(2121dRRdxxxdFxxxg.),,,(21期望的联合分布多元函数的为dXXX