搜索
有一块V字形木板，两侧与地面的夹角都是θ。一根密度均匀的绳子放在木板上，绳子与木板之间的摩擦系数为1。整个系统左右对称。没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少？此时θ是多少度？用一些非常初等的方法可以得到，答案是(√2-1)2≈0.172，此时θ=22.5°。具体解答可以见。一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体物块，斜靠在一个墙角。由于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。什么时候，物块会脱离墙壁？为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作θ，物块下滑过程中的各种物理量都可以用θ来表示。然后，解决这个问题的关键就在于，当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系dvx/dθ=0给出。不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方式去解它。有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为R。我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。那么，这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？把半圆的半径记作R，把木板的厚度记作t。如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是R+t/2。假如这块木板倾斜了一个微小的角度θ，那么图中M'T的长度等于弧MT的长度，即2πR·(θ/2π)=R·θ。此时，木板的重心G'的高度变为了(t/2)cosθ+(R·θ)sinθ+R·cosθ。为了让木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即(t/2)cosθ+(R·θ)sinθ+R·cosθR+t/2。解出不等式，再令θ→0，即可得到t2R。也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？可以。只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。期待实验党。用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往往会有过热的迹象。如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更厉害呢？目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。当然，这个现象本身是否存在也是存疑的。大家不妨来说说自己家里插座的情况。呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个最优的频率？⋯⋯我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的⋯⋯当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。如果你真的把它当成一回事仔细分析，你会发现这不是一般的困难。2004年，BiologicalCybernetics上发表了一篇长达15页的论文，论文题目是CoordinationModesintheMulti-SegmentalDynamicsofHula-Hooping。这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖——当然，是搞笑版的。投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果一枚硬币真的有1/3的概率正面朝上，有1/3的概率反面朝上，有1/3的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜30度仍然不倒。这样，硬币直立的“势力范围”才会达到120度。因此，硬币的直径应该是厚度的√3倍。考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为M，体积为V。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径R=((3V)/(4π))1/3，星球表面上的重力加速度则为g=GM/R2=GM((4π)/(3V))2/3，其中G是万有引力常数。考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以z方向为轴的旋转体，顶端的m点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为g=(4/5)(15/4)1/3π2/3M/V2/3，只比球形星体的重力加速度大2.6%。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。这个问题的解法非常漂亮。首先，假设我们想要让星体表面上的某个点m的重力加速度最大，并且所受重力方向在z轴上，那么这个星体必然是沿z轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让m点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿z轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。接下来的步骤就真的神了。现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是dM。那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是G·dM·cosθ/r2。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的r值和θ值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为0，任何微小的变动都不会改变m的加速度。这就意味着，cosθ/r2是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。Fermat光程最短原理指出，光从A点到B点，总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点A、B，和椭圆上的一点M。显然，不管M取在哪儿，AM+BM都是相同的。现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于M点。然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。显然，AMB仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于AMB。AMB是一个光程极大的路径。物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。比如，能量的单位就是1J=kg·m2·s-2。为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是sin(kg)·log(m)？这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。比如说，密度单位是质量除以长度的三次方，就表明如果质量扩大到原来的2倍（或者说单位量变成了原来的1/2），长度扩大到原来的4倍（或者说单位量变成了原来的1/4），那么这个物理量将会变成原来的2/43=1/32。现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。按照国际标准单位制，这个单位是sin(kg)·log(m)。假如单位换成了sin(g)·log(cm)，那么这个物理量将会变成原来的sin(1000)·log(100)≈3.80792。再继续换算成sin(mg)·log(mm)，物理量应该继续变成原来的sin(1000)·log(10)≈1.90396。但是，如果从sin(kg)·log(m)直接变到sin(mg)·log(mm)，物理量应该变成原来的sin(1000000)·log(1000)≈-2.41767，这就和前面的结果矛盾了。利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。不过，这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢？有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是1Ω的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为1A的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。由对称性，有(1/4)A的电流将会流过红蓝两点之间的线段。现在，再假设一个大小为1A的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有(1/4)A的电流。现在，把两种情况叠加在一起看，大小为1A的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有(1/2)A的电流。因而，两点间的电压就是(1/2)A·1Ω=(1/2)V。因而两点间的等效电阻就是(1/2)V/1A=(1/2)Ω。说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如，我们可以把问题扩展到N维的情形：N维无限电阻网格中，相邻两点的等效电阻是多少？利用同样的方法可以得出，答案就是1/N。回到二维情形，如果我们换一个扩展方向，改问对角两点间的电阻，上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙：两点间的阻值为(π/2)Ω。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。xkcd有一个经典漫画，形象地描绘出nerd们被数理趣题折磨的感受。当然，这幅画本身也折磨了不少人，网上涌现出大量对这个问题的讨论。还有一种经典的无穷电阻问题：一个向右无穷延伸的梯子形网格，每条线段都是1Ω的电阻，求两点间的等效电阻。问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是R，则R可以看作是三个1Ω的电阻串联，然后把一个阻值为R的电阻（也就是它本身）与中间那个1Ω电阻并联所得。于是得到等量关系R=1+1/(1+1/R)+1，解得R=1+√3。还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是，一个正方体的12条棱上各有一个1Ω的电阻，求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。2007年10月份IBMPonderThis的题目则是，分别考虑五种正多面体，如果每条棱上各有一个1Ω的电阻，则相邻两顶点的等效电阻是多少？巧妙地利用对称性，这几个问题都可以迅速被秒杀。假设有一个圆锥形的冰山，冰山表面绝对光滑。你打算把一个绳圈套在山尖上，然后沿着绳索爬上去。考虑两个极端情况：如果冰山特别尖，顶角特别小，这个计划自然不成问题；但若冰山特别“肥”，顶角特别大，向下拉绳子后，绳圈将会滑出山尖。这中间一定有一个临界点，也就是绳圈掉不出来的最大顶角。这个顶角是多大？这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是，绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到，绳子被拉紧，意味着绳圈从A点出发，将沿最短路径绕过山尖一周，再回到A点。如果把圆锥的侧面展开成扇形，绳圈其实就像下面这样（图中的A点和A'点在圆锥上是同一个点）。显然，当这个扇形的顶角小于180度时，这样的绳圈才可能存在；而当这个扇形的顶角大于180度时，拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出，所求的临界情况就是，圆锥的高与母线的夹角为30度。n块相同的木板重叠，最多能够伸出桌面多远？这是一个非常经典的问题。传统的答案是，把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘，把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘，把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘⋯⋯利用杠杆原理可以推出，如果每块木板都是单位长，那么n块木板可以伸出桌面(1+1/2+1/3+…+1/n)/2个单位的长度。由调和级数的性质，我们立即可以得知，只要木板数量足够多，木块伸出桌面的长度是没有上界的，想伸出去多长就能伸出去多长。但同时，这个增长速度也非常缓慢⋯⋯20块木板只能伸出大约1.79887个单位的长度，1000块木板也只能伸出大约4.8938个单位的长度。不过，采用一些其它的方案（比如拿几块木板在后方作为“配重”），我们可以让木板伸出的长度更远。下面是一篇非常经典的论文，总结了目前对这个问题的研究结果：。上楼时，人克服重力做功，需要耗费很多能量。但是，在平地上行走时，人并