高层办公楼电梯问题

2011年河南理工大学《数学建模》课程论文姓名论文题目高层办公楼电梯问题学号310911010228学院、专业数信学院数学0902论文分数高层办公楼电梯问题摘要：本模型为解决高层办公楼电梯问题，分别从电梯运行高度和停靠次数考虑，尽量减少每个电梯的运行高度和停靠次数。首先从停靠次数考虑：大楼共29个停靠层，6部电梯，所以应把大楼分为6类停靠层，使每部电梯保持最少停靠次数，再从电梯运行高度考虑，为了使每部电梯运行高度最低，应使每部电梯尽可能停靠在较低的楼层，综合以上两点考虑可将楼层划分为：低层：2~5，次低层：6~10，中低层11~15，中高层16~20，次高层21~25，高层：26~30经过运算可得总运载率为51.30%.考虑到实际生活中处于低层的人将功倾向于走楼梯所以我们在模型改进中撤消了设在2~6层的电梯停靠点，把楼层分为6类，即7~10，11~14，15~18，19~22，23~26，27~30，重新计算得总运载率为60.50%.在电梯改造时，考虑到办公人员的利益，我们仍将在2~30层都设置电梯，由于电梯价格多在单价20万以上，不同速度的电梯差价相对较小，所以按照先增速后增台数的原则确立电梯的布置方案。经过计算低中高速电梯运载率分别为50.12%，52.12%，53.35%，所以只靠增加电梯速度不可能满足体重要求。经计算一台高速电梯只把员工运往30层，仍需要119.58秒，为了在40分钟内运完所有人员，并且等待时间小于1分钟，必须增加电梯数目来缩小等待时间，为了使每类楼层不会出现等待时间小于1分钟而运输人数远大于该类停靠层需求的问题我们将在增加电梯数目的时候采用异速搭配使其运载率尽量保持在100%10%的区间内，然后计算出每层的运载率，对于仍未达100%运载率的楼层，设立为特殊停靠层，增加一定数量电梯专门为这些楼层运输。总的来说，模型最主要思路为：1、分层停靠2、异速组合3、设立特殊层关键字：办公楼、电梯、分配、改造一、问题重述商用写字楼在早上8点35分到9点15分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常碰到再５分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，候梯的人焦急万分。所以，公司强烈要求电梯设计一个合理有效的调度运行方案。第一问：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到达，减少候梯时间。各层楼的人数(不包括第一层楼)见表1(1)数据表l各楼层人数（个）一览表楼层楼层楼层人数楼层人数楼层人数12345678—208177222130181191236910111213141516236139272272272270300264171819202l222324200200200200207207207207252627282930205205140136132132(2)第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9lm；(3)电梯的最大速度是304.8／min，电梯的速度由0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；(4)电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10％；(5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；第二问：如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，你能不能给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8，304.8，365.8m／min）。二、问题分析从问题中已经知道，6台电梯不可能满足需求，第一问中要求尽量把各层楼的人员快速运达。电梯停靠时间是由电梯运行高度很停靠次数决定的，运行越高，停靠次数越多，单趟运行时间越长，所以模型应该尽量减少运行次数和每个电梯的运行高度，大楼共30层，其中2~30层需要电梯，共拥有6台电梯，从停靠次数考虑，应该分为6类停靠层，从停靠高度考虑则应该使电梯尽量停靠在低层，综合考虑，应该把楼层划为:1类低层：2~5，2类次低层：6~10，3类中低层11~15，4类中高层16~20，5类次高层21~25，6类高层：26~30，在此基础上就可以较为高效率的分配电梯，但考虑到实际生活中低层人员一般选择走楼梯，所以模型应该可以进一步改进，去掉2~6层的停靠层，进行停靠层的重新分配。即分为：7~10，11~14，15~18，19~22，23~26，27~30，这样就更加提高了运载率。对于问题二则可以在问题一建立的模型基础上，进行电梯改造，改造方式分为提速和增加电梯数量，应为电梯单价多在20万元以上[1]，而电梯提速却远低于这个价格，所以电梯改造应该遵循先提速后增加数量的原则。三、模型假设1、假设每分钟到达一层的人数相等2、假设为了提高总运载率可以牺牲部分楼层的运载率3、假设电梯每次都是满载4、假设电梯停靠层皆有人下5、假设电梯不滞留任何一层四、符号说明hi：i类停靠层最低层距一楼高度，i1,2,3,4,5,6hid：i类停靠层最高层距一楼高度，i1,2,3,4,5,60h:相邻楼层距离0t:电梯从上升一层的时间h：第一层高度ti:电梯到达i类停靠层第一层的时间tid:电梯从i类最高层到达第一层的时间tiu:电梯从第一层到达i类最高层的时间(仅是运行时间)maxV：电梯最大速度a电梯加速度ts：电梯从0加速达最大速再减速到0的时间ss：电梯从0加速达最大速再减速到0的距离tio:i类停靠层电梯开关总时间Oi：i类停靠层电梯开关次数tip:i类停靠层电梯人员上下时间tiw：i类停靠层电梯其他损耗时间1t:每人进入电梯所需时间2t:每人出电梯所需时间Ti：i类停靠层电梯运行一次总时间Wi；i类电梯在40分钟内所载人数Pi：各停靠层人数：总运载率五、模型建立5.1、对问题一的建立与求解经分析，6台电梯不可能在上班高峰期把5948人送到相应办公层，为了在40分钟内运送近尽可能多的人，设计如下方案将楼层划分为6类，第一台运行2~5层设为第1类，第二台运行6~10层设为第2类，第三台运行11~15层设为第3类，第四台运行16~20层设为第4类，第五台运行21~25层设为5类，第六台运行26~30层设为第6类。1、求各类停靠层最底层到一楼距离与其最高层到一楼距离由题得0h=3.91,h=7.62，a=1.22m/2s,maxV=340.8m/min=5.08m/s1h=)22(hh0*61,2,3,4,5,ihh0*5*1)-(ihi61,2,3,4,5,ihh0*1)-(5ihid带入数据得各类楼层高度表123456hi7.6223.2642.8162.3681.91101.46hid19.3538.958.457897.55117.12、求各类停靠层电梯从一楼运行到对应停靠层最底层的时间与各类停靠层电梯从其最高层运行到一楼的时间由牛顿运动定律：Vmax/a*2=ts2/)(2tsasssss时ast/4sss时tsVssstmax/)(由以上公式可得123456ti4.99848.812512.019115.225818.432021.6391tid7.965111.377814.584517.791120.998024.20453、求出各类电梯上下运行总时间由2公式可求3.5805t0t0*3t1t1u2,3,4,5,6it0*4titiu所以123456tiu15.739923.134526.341126.547832.754035.9611tid7.965111.377814.584517.791120.998024.20454、求出各类电梯因开门关门损失时间6O6O5O4O3O2,5O1所以Oi*3tio求得123456tio1518181818185、求出各类电梯因人员上下损失的时间0.5st20.8s,t1t2)(t1*19tip带入数据得123456tip24.724.724.724.724.724.75、求出各类电梯其他损失时间tio)(tip*0.1tiw代入数据得123456tiw3.974.274.274.274.274.276、求出各类电梯运行一趟总时间tiwtiptiotidtiuTi带入数据得123456Ti67.374981.856185.552997.2498104.9500112.64357、求出各类电梯40分钟所载人数19*(2400/Ti)Wi123456wi6765575094684344048、求出各类停靠层实际人数123456pi7399831386106410337459、求出总运载率%100*/6161piwi=3051/5948*100%=51.30%5.2对问题二的模型建立与求解首先采用异速搭配建立分配方案由5.1可列中速电梯运行情况如下表123456总实运人数676.81557.08509.2468.9434.51404.823051.3需运人数7399831386106410337455948运载率0.91830.56670.36740.44070.42060.54340.513同5.1模型可列出高速和低速电梯运行情况如下表高速：123456总实运人数676.81559.63518.8483.52452.73425.633117.11需运人数7399831386106410337455948运载率0.91830.56930.37430.45440.43830.57130.5241低速：123456总实运人数676.81547.74490.99444.89406.71374.562941.71需运人数7399831386106410337455948运载率0.91830.55720.35420.41810.39390.50280.4946下面给出高中低速电梯各停靠层运载率对比123456总高0.91830.56930.37430.45440.43830.57130.5241中0.91830.56670.36740.44070.42060.54340.513低0.91830.55720.35420.41810.39390.50280.4946从中可以看到1类运载率在100%10%内，2类运载率的2倍，3类运载率的3倍，4类运载率的2倍，5类运载率的2倍，6类运载率的2倍都基本在100%10%内，为了使运载的整数倍尽可能分布在100%10%内，确定如下方案123456高000222中000000低123000利用模型5.1得出运输情况如下表123456可运人数67610941470966904748应运人数737983138610641033745剩余6100841290下面将在2~5,16~25设立特殊层选用一台快速电梯，用模型5.1可得出运输情况如下表新增电梯可运人数266应运人数288剩余22可以看出在保持2~30层，每个人都坐电梯的情况下5948个人中仅有22个人没办法坐电梯，即运载率高达99.58%，考虑到低层人员不搭电梯和员工请假等不定因素，设计方案完全可以满足题目5个要求所以最终方案是低速电梯5台，用于2~5层1台，6~10层2台，11~15层2台高速电梯7台，用于16~20层2台，21~25层2台，26~30层2台，还有1台用于2~5,16~25层六、模型改进现实生活中，低层人员一般会选择走楼梯，所以对5.1模型去掉2~6层的停靠点，把停靠层分为1类7~10层，2类11~14,3类15~18,4类19~22,5类23~26,6类27~30，运用同模型5.1同样的方法可得运输情况如下表123456总实运人数60555651794834544283042需运人数80210869648148245405030运载率