2019年全国高中数学联赛一试11个专题特训(附十年全国联赛真题)

第1页共116页目录Ch1.函数Ch2.不等式与最值Ch3.三角与向量Ch4.数列Ch5.平面解析几何Ch6.立体几何Ch7.二项式定理Ch8.方程、多项式Ch9.复数Ch10.排列与组合Ch11.概率Ch12.历届高中数学联赛一试试题第2页共116页一、准备高中数学联赛数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、发现和培养数学人才都有着积极的作用。竞赛能力是培养的不是天生的，所以放轻松不用考虑自己实力如何，只要你付出会有回报的，要以积极乐观的心态准备联赛。(✿◕‿◕✿)二、一试赛前工作1.如何做规划？准备一试和准备高考相类似的地方就是首先要系统学习知识点。还需要通过完成一些一试模拟试卷来提高速度。完成模拟试卷是竞赛训练中最重要的一个环节。通过这个环节的训练，我们可以将自己应对一试的综合能力大大提高。训练从系统完成知识点后开始，每天完成一到两份的一试模拟试卷。一份模拟试卷的完成是很有讲究的，必须有一个完整而有效的办法使得训练事半功倍。首先是态度问题。应该把每次模拟卷的训练当作真实的联赛来看待，用百分之百的认真来对待它。对每道题目的解答都应该按照联赛的标准来执行——特别是大题，应该详细清晰地作答。建议用一个专门的本子来做解答。草稿纸也应该规范，并且应该按照联赛的要求限制数量(联赛提供的是8开的正反面稿纸1张)。打草稿的时候尽量书写清楚，以便复查。其次是严格控制完成的时间。每次训练的时间不应该超过联赛规定的时间，即80分钟。2.如何提高一试？一试考察的重点是扎实的基本功，基本功大致分为对知识点的掌握以及灵活运用和熟练的运算两个方面。前者的训练是通过对知识点的归纳整理以及不断运用于实际来完成的;后者的训练则是较为纯粹的通过大量而复杂的解题来完成。这样，我们就可以很清楚地将一试的训练分为两个阶段：梳理知识点阶段和大量解题阶段。具体说来，前者可以通过完成一本内容全面的初级竞赛课本来实现;后者则需要通过完成大量的一试模拟试卷来实现。第3页共116页第一章函数一、知识要点：一、函数值域与最值问题：(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种：①自然型：②限制型：③实际型：(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,求函数值域方法一般有：①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等）；⑤换元法；⑥反解法；⑦几何法；⑧导数法.(3)恒成立问题：①不等式f(x)＞k恒成立f(x)min＞k；②不等式f(x)＜k恒成立f(x)max＜k③f(x)≥g(x)恒成立f(x)−g(x)≥0恒成立[f(x)−g(x)]min≥0(典型错误minmax()()fxgx)(4)有解问题：①方程f(x)＝k有解k的取值范围即为f(x)的值域；②不等式f(x)＞k有解f(x)max＞k；③不等式f(x)＜k有解f(x)min＜k.(5)最值存在定理：f(x)在闭区间[a,b]内连续,则f(x)必有最大值与最小值.二、函数基本性质：1．奇偶性定义：定义域关于原点对称,且对∨−x∈D,f(−x)=f(x)(偶函数)或f(−x)=－f(x)(奇函数)①奇函数的图象关于原点对称；②偶函数的图象关于y轴对称；③若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0.2．单调性定义：对∨−x1,x2∈I且x1＜x2f(x1)＜f(x2)(增函数)或f(x)＞f(x2)(减函数).3．研究函数的单调性,常用以下方法：（1）定义法：利用定义严格判断.步骤为：①取值；②作差；③判断符号；④下结论.（2）直接利用已知基本初等函数的单调性.（3）利用复合函数y=f[g(x)]的单调性(其中y=f(u),u=g(x))：判断的法则是“同增异减”具体步骤为：①求定义域；②找分界点,确定单调区间；③分析函数在每个区间上的单调性得出结论.（4）图象法：若一个函数的图象可画出来,则由图象可得单调区间.第4页共116页（5）利用奇偶函数的性质：①奇函数在对称区间上的单调性相同；②偶函数在对称区间上的单调性相反.（6）单调函数必存在反函数,且反函数的单调性与原函数的单调性相同.4．周期函数定义：若存在常数T(T≠0),使得f(x+T)＝f(x)对定义域内任意x恒成立,则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期,f(x+T)＝f(x)常常写作f(x＋T2)＝f(x－T2),周期函数的定义域一定是无限集.①若T是y=f(x)的周期,那么kT(k∈N*)也是它的周期.②若y=f(x)是周期为T的函数,则y=f(ax+b)(a≠0)是周期为Ta的周期函数.③若u＝g(x)是周期函数,f(u)是任意函数,则f[g(x)]也是周期函数.5．周期的常用结论：设a为非零常数,若对f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立,则f(x)的周期为2a①()()fxafxa；②()()fxafx；③1()()fxafx；④1()()fxafx；⑤()1()()1fxfxafx；⑥1()()1()fxfxafx.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.另外：()1()()1fxfxafx或1()()1()fxfxafx,则f(x)的周期为4a.证明：由已知f(x＋2a)＝()11()11()1()1()1()1()1fxfxafxfxfxafxfx,于是f(x＋4a)＝－1(2)fxa＝f(x)6．周期性与对称性有如下关系：①若函数f(x)图象关于直线x=a与x=b对称,则它一定是周期函数,且2|a−b|是它的周期.②若函数f(x)图象关于点(a,0)和(b,0)对称,则它一定是周期函数,且2|a−b|是它的周期.③若函数f(x)图象关于直线x=a及点(b,0)对称,则它一定是周期函数,且4|a−b|是它的周期.三、基本初等函数：1.指数函数及其性质：形如y=ax(a＞0,a1)的函数叫做指数函数,其性质有：①定义域为R,值域为(0,+∞)；②当0＜a＜1时为减函数,当a＞1时为增函数；第5页共116页③图象有两个特殊点：定点(0,1),不变点(1,a)；④非奇非偶,但xya与xya的图象关于y轴对称；xya与xya的图象关于x轴对称；xya与logayx的图象关于直线y=x对称；⑤对应关系为一一映射,从而存在反函数－－对数函数；⑥抽象性质：()(01)xfxaaa且()()()(),()()fxfxyfxfyfxyfy2.对数函数及其性质：形如y=logax(a＞0,a≠1)的函数叫做对数函数,其性质：①定义域为(0,+∞),值域为R；②图象有两个特殊点：定点(1,0),不变点(a,1)；③当0＜a＜1时为减函数,当a＞1时为增函数；④非奇非偶,但-1loglogaayxyx与关于x轴称,loglog()aayxyx与图象关于y轴对称,logxayxya与图象关于直线yx对称；⑤对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.3.幂函数：形如y=xα的函数叫做幂函数,幂函数有如下性质：⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R或(−∞,0)∪(0,+∞)的幂函数都具有奇偶性,定义域为(0,+∞)或[0,+∞)的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数y=xα都是无界函数；在第一象限中,当α＜0时为减函数,当α＞0时为增函数；⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点；4.画幂函数y＝xα(α＝mn,m、n是互质的整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图：(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况：①m,n均为奇数时,y=xα为奇函数,图象在一、三象限内关于原点中心对称.②m为偶数,n为奇数时y=xα为偶函数,图象在一、二象限内关于y轴对称.③m为奇数,n为偶数时,y=xα既不是奇函数也不是偶函数,函数只在第一象限有图像.第6页共116页5．二次函数的图像和性质：二次函数是初等数学中遇到比较多的函数之一,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有联系,与之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因此有必要进一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．（1）二次函数的解析式：①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()fxaxhk,顶点为(,)hk③两根式：12()()()fxaxxxx④三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxx（2）2()(0)fxaxbxca的图像是抛物线,顶点坐标24(,)24bacbaa,对称轴方程为2bxa,开口与a有关；（3）单调性：当0a时,()fx在(,]2ba上为减函数,在[,)2ba上为增函数；0a时相反.（4）奇偶性：当0b时,()fx为偶函数；若()()faxfax对xR恒成立,则xa为()fx的对称轴.（5）最值：当xR时,()fx的最值为244acba,当[,],[,]2bxmnmna时,()fx的最值可从(),(),()2bfmfnfa中选取；当[,],[,]2bxmnmna时,()fx的最值可从(),()fmfn中选取.常依轴与区间[,]mn的位置分类讨论.抛物线的凸凹性：（1）当a＞0时,函数的图象是下凸形曲线,即对于任意Rxx21,,有12()2xxf≤12()()2fxfx；（2）当a＜0时,函数的图象是上凸形曲线,即对于任意Rxx21,,有12()2xxf≥12()()2fxfx,利用二次函数图象的凸性和单调性,在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式．6.基本初等函数：常函数y=c,幂函数y=xα(α∈Q),指数函数y=ax,对数函数y=logax,三角函数（y=sinx,y=cosx,y=tanx等）,反三角函数（y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等）是数学中最为基本的函数,我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的,其中二次函数和形如y＝x＋kx的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法,并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y＝x＋kx的性质求一些第7页共116页分式函数的值域.四、函数图像：函数图象作图方法有两种：列表描点法和图象变换法,重点掌握图象变换法.描点法作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质,即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线,画出函数的图象.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这也是个难点.I.函数图像的对称性分为两类：(1)自身对称：①函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是：f(x)＋f(2a－x)＝2b恒成立；②函数y＝f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是：f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)恒成立；(2)不同函数之间的对称：①函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称；②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a成轴对称；③函数y＝f(x)与a－x＝f(a－y)的图像关于直线x＋y＝a成轴对称；④函数y＝f(x)与x－a＝f(y＋a)的图像关于直线x－y＝a成轴对称.II.函数图像对称