第六章习题选解

湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料第六章习题选解6-1对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过0,0x的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。1）02,0,0,xBABxAxdtdx2）0,310xxxxdtdx解1）方程可化为)(xBABxdtdx，则其常数特解为BAxx21,0，即为驻定解。由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当BAxx,0时，分离变量得AdtdxBAxx11方程的通解为AtCeBxAx利用初始条件BAxxxx000,00，得00BxAxC，故得原方程满足初始条件的解为0)(0teBxABAtxAt（1）由式（1）和方程右端的表达式，得出当时，00x0dtdx，递增，)(tx又BeBxABBxAAt00,时，)(tx，即)1ln(10BxAAtt时，)(tx。湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料当000,0000000dtdx,BAx,BxAdtdx,BAxBxAx时，有tBAtx)(所以解（1）的图像如图6-5所示。x0dtdx0)(1txo图6-5从解的图像可以看出：解不稳定；解01xBAx2稳定。利用变换BAxy，可将原方程化为22)()(ByAyBAyBBAyAdtdy所以原方程的驻定解BAx2对应于方程2ByAydtdy的零解。0y2）由，求得常数解为031xxx。3,1,0321xxx因为31,xxxxtf0,0x在全平面上连续可微，故对任意初始点，解唯一存在，当t时有00,xttBAtx)(20dtdx湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料在区域，10x0dtdx，任意解txx递增，在t时，以为渐近线。1x在区域1，3x0dtdx，任意解txx递减，在t时，以为渐近线。1x在区域，3x0dtdx，任意解txx递增，在t时，tx远离，33tx又tdtdx，故有铅直渐近线。积分曲线的分布如图6-6所示。tx0,000xtdtdxo1)(2tx130dtdx3)(3txxt0dtdx图6-6从图6-6看出：当时，00x0)(tx；当030x时，，当t时，1)(tx驻定解稳定；不稳定。12x33x令，代入原方程，得1xy21yyydtdy令，代入原方程，得3xy32yyydtdy所以原方程的驻定解和12x33x对应于新方程的零解0y。评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料中只考虑零解稳定性的缘故。方程2BxAxdtdx是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。6-2试讨论线性方程组cydtdybyaxdtdx的奇点类型，其中为实数且cba，，0ac。解因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00accba，故线性方程组有唯一的奇点，即原点0,0。又由00det2accacbaEA，得ca21,。所以由定理6.1知，方程组的奇点0,0可以分为以下类型：稳定结点不奇点为奇点为奇结点奇点为退化结点不稳定奇点为鞍点奇点为不稳定结点奇点为稳定结点奇点为结点为实数)(,0)(,0)(,0,0)(,0,0,,0,,0,cabbcaacccaccaaccaca评注：讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。6-3试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。1）2245665469yxyyxdtdyxxyyxdtdx2）0),(2xyxdtdyydtdx解1）先求出奇点。解方程组湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料045660546922yxyyxxxyyx得21,12,00332211yxyxyx，所以方程组1）有奇点为和。)2,1(),0,0()1,2(再研究驻定解的稳定性态。)a零解的稳定性态。奇点的一次近似方程组为)0,0(yxdtdyyxdtdx6669其特征根3,621，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知原系统的零解不稳定。)b驻定解的稳定性态。2,1yx令21yYxX将1）中方程组化为2245545427YXYYXdtdYXXYYXdtdX。一次近似方程组为YXdtdYYXdtdX5427，有正实部的特征根3,921，由定理6.3和定理6.5可知驻定解不稳2,1yx湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料定。)c驻定解的稳定性态1,2yx令12yYxX将1）中方程组化为224585427YXYYXdtdYXXYYXdtdX一次近似方程组为YXdtdYYXdtdX827其特征根9,621，由定理6.3和定理6.5可知驻定解1,2yx渐近稳定。2）先求出奇点。解方程组0)(02xyxy得01,002211yμxyx，故系统2）有奇点为和)0,0()0,1(。再研究驻定解的稳定性态。一般地，对于系统),(),(yxgdtdyyxfdtdx，它在驻定解的一次近似方程组为),(iiiyxP湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料yxyyxgxyxgyyxfxyxfdtdydtdxiP),(),(),(),(，其中方程组的系数矩阵称为函数关于),(),,(yxgyxfyx,的雅可比矩阵。在此题中，驻定解的一次近似方程组为),(iiiyxPyxμxμdtdydtdxiP2110，所以系统2）零解的一次近似方程组为yxdtdyydtdx，有正实部的特征根2422,1，由定理6.3和定理6.5可知零解不稳定。0yx系统2）在)0,1(的一次近似方程组为yμxdtdyydtdx特征根为2422,1μμλ，显然有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解0,1yx不稳定。评注：系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。本题1）的解法是先将驻定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。本题2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料部即可。6-4研究下列方程（组）零解的稳定性。1）0652233xdtdxdtxddtxd（1）2）xzμdtdzzyμdtdyyxμdtdx,,，为常数。解1）令22321,,dtxdydtdxyxy，则方程（1）可化为为3213322156yyydtdyydtdyydtdy（2）则01655611001)det(23AE，因为1,296115,5,13210aaa所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，因而（2）的零解即（1）的零解渐近稳定。2）01)(011001)det(3AE，2312,13,21i，所以，当21μ时，特征根均具有负实部，方程组的零解是渐近稳定的；当21时，有正实部的特征根，方程组的零解是不稳定的；当21时，没有正实部的特征根，且具有零实部的根的初级因子的次数等于1，故方程湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料组的零解是稳定的（但非渐近稳定）。评注：高阶方程零解的稳定性可化为与之等价的一阶线性微分方程组零解的稳定性问题来研究，而常系数一阶线性微分方程组零解的稳定性可归结为它的特征根的问题。注意霍维兹定理的应用。6-5某自激振动系统以数学形式表示如下（范得坡方程）)0(0)1(222xdtdxxdtxd试讨论系统的平衡状态的稳定性态。解令dtdxzxy,，则原方程化为zyzydtdzzdtdy2，一次近似方程组为zydtdzzdtdy，由01112，得2422,1μμλ，具有正实部的根，由定理6.3和定理6.5得方程组的零解不稳定，因而，所讨论系统的平衡状态是不稳定的。评注：先将高阶方程化为与之等价的一阶线性微分方程组，再研究方程组的一次近似系统，应用定理6.5得到原系统的稳定性。6-6研究下列方程组零解的稳定性：湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料1）))(())((2222yxyxyxdtdyyxyxyxdtdx2）)()(2222222yxyxdtdyyxxydtdx3）436,xydtdyxydtdx4）yxdtdyxyaxdtdx422,（为参数）a解1）取定正函数，22yxV122yx，则0)1)((2)(2)(2222232233223yxyxyyxxyxyxyyyxxyxyxxdtdV定负，所以由定理6.6知方程组的零解是渐近稳定的。2）取变号函数yxyxV),(，则)()()()(22222222222222yxyyxxyxyxyxyxxydtdV22yx定正，故dtdV在原点的邻域内定正。由于是变号函数，故在原点的任意小邻域内都至少存在某点),(yxV)0,0(),(yx使0),(yxV，故方程组的零解是不稳定的。3）取正定函数44),(yxyxV，则有044)(4)(4646443363yxyxxyyxyxdtdV方程组的零解是稳定的。4）取定正函数)(41),(24yxyxV，则4423)2(21)(axyxyxyaxxdtdV，当时，0adtdV常负，方程组的零解是稳定的；湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料当时，方程组的线性近似方程组具有正实部的特征根：0a0,021a，因而方程组的零解是不稳定的。评注：利用李雅普诺夫第二方法研究系统的稳定性，关键寻找适当的V函数。特别注意寻找的V函数只要在零解的某一个邻域内满足条件即可。6-7给定微分方程组),(),,(yxyfxdtdyyxxfydtdx，其中有一阶连续偏导数。试证明在原点邻域内如当，则零解是渐近稳定的，当则零解是不稳定的。),(yxf00ff证显然