工程数学-概率统计习题全解-同济大学-高等教育出版社-3

习题九解答1.设621,,,XXX是来自服从参数为的泊松分布P的样本，试写出样本的联合分布律。解!!!,,,621621621xexexexxxfxxx1661!niixiiex,2,1,0,,,621xxx2.设621,,,XXX是来自,0上的均匀分布的样本，0未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？6214163626211,,,max,,,6XXXTXEXTXTXXXT（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。解（1）621,,,xxxf6621,,,0xxx0其他（2）1T和4T是，2T和3T不是。因为1T和4T中不含总体中的唯一未知参数，而2T和3T中含有未知参数。（3）样本均值8.0116.07.015.061611611iiniiXXnX样本方差261212611iiniiXXXXnS0433.02.02.02.01.02.03.061222222样本标准差2082.00433.02SS。3.查表求)12(299.0，)12(201.0，)12(99.0t，)12(01.0t。解20.99(12)26.217，20.01(12)3.571，0.99(12)2.6810t，0.01(12)2.6810t。4.设10~tT，求常数c，使95.0cTP。解由t分布关于纵轴对称，所以95.0cTP即为05.0cTP。由附表5.6可查得81.1c，所以81.1c。5.设nXXX,,,21是来自正态总体2,0的样本，试证：（1）nXnii2122~1；（2）1~12212niiXn。证明：（1）iX独立同分布于1,0，由2分布的定义，nXnii221~，即nXnii2122~1。（2）易见，21,0~nXnii，即1,0~21nXnii，由2分布的定义，1~2221nXnii，即1~12212niiXn。6.设521,,,XXX是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个5,,2,1iXi都服从1,0。（1）试给出常数c，使得2221XXc服从2分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数d，使得25242321XXXXXd服从t分布，并指出它的自由度。解（1）易见，2221XX即为二个独立的服从1,0的随机变量平方和，服从22分布，即1c；自由度为2。（2）由于2,0~21XX，则1,0~221XX。又3~2252423XXX，221XX与252423XXX相互独立，则3~3225242321tXXXXX即3~2625242321tXXXXX即26d，自由度为3。7.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求2,,SEXDXE：（1）pBX,1~；（2）EX~；（3）2,0~RX，其中0。解（1）pBX,1~211,,111nniiiiEXpEXpDXppEXEXEXpnn211111nniiiippDXDXDXnnn2222221112212111111111nnniiiiiiniiiESEXXnEXnXEXnEXnnnDXEXnDXEXnppnpnpnnppn（2）EX~2122222111111,1,1nXEXDnXEXDnSEnXDXEXDXEniii（3）2,0~RX，其中03n1-11332122222niiiXEXDnXEXDnSEnXDXEXDXE8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。解（1）引入新变量：iX1，第i个样本居民年收入超过1万0，第i个样本居民年收入没超过1万其中1600,,,2,1nni易见：1.01iXPp又因1000001600Nn，故可以近似看成有放回抽样，nXXX,,21相互独立。3.09.01.0,1.0iiXDXE样本中年收入超过1万的比例即为X，由于1600n较大，可以使用渐近分布求解，即nX2,~，所求概率即为0918.09082.013413.01.011.040111.01%11XnPXPXP（2）同（1）解法引入新变量：iX1，第i个样本居民受过高等教育0，第i个样本居民未受过高等教育其中1600,,,2,1nni4.08.02.0,2.02.01iXPp6826.018413.02112114.02.021.0404.02.019.040%21%19XnPXP答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。习题十解答1.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1）pnBX,~，其中p未知，10p；（2）EX~，其中未知，0。解（1）pXE，故p的矩估计量有Xpˆ。另，X的分布律为1,0,11xppxXPxx，故似然函数为niiniiXnXpppL111对数似然函数为：pXnpXpLniinii1lnlnln11令01ln11pXnpXdppLdniinii解得p的最大似然估计量XXnpnii11ˆ。可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2）1XE，令X1，故的矩估计量X1ˆ。另，X的密度函数为xfX0xe00xx故似然函数为L01niiXne其他niXi,,2,1,0对数似然函数为0lnlnln11niiniiXndLdXnL解得的最大似然估计量XXnnii1ˆ1。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，0，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。解XE，故的矩估计量Xˆ。由样本观测值可算得1501423102201170X另，X的分布律为,2,1,0,!xxexXPx故似然函数为niXXXXeLinniin,,2,1,,2,1,0,!!11对数似然函数为0ln!lnlnln111niiniiniiXndLdXXnL解得的最大似然估计量XnXnii1ˆ，故的最大似然估计值1ˆ。3.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，其中X服从区间,0的均匀分布，其中0未知，求的矩估计。解2XE，令X2，故的矩估计量X2ˆ。4.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，X的密度函数为xf022x其他x0其中0未知，求的矩估计。解32202dxxxXE，令X32，故的矩估计量为X23ˆ。5.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，X的密度函数为xf01x其他10x其中0未知，求的矩估计和最大似然估计。解21110dxxxXE，令X21，故的矩估计量为121ˆXX，另，似然函数L011niinX其他10iX对数似然函数为0ln1lnln1lnln11niiniiXndLdXnL解得的最大似然估计量为XXnnii111ˆ1。6.设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为p的几何分布，即,3,2,1,11xppxXPx，其中p未知，10p，求p的最大似然估计。解似然函数nXnniipppL11对数似然函数01ln1lnlnln11pnXpndppLdpnXpnpLniinii解得p的最大似然估计量为Xp1ˆ。7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布E，其中0未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。解根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为X1，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为ˆ1，即为X。由样本观测值可算得45.25.4842.38.161X。8.设总体X的密度函数为xexfx,21;，其中0未知，设nXXX,,,21是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。解似然函数niiXneL121，对数似然函数为0ln12lnln211niiniiXndLdXnL得的最大似然估计量为niiXn11ˆ。9.在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解niniiniinXEnXnEXEXEE1112221222ˆ故的矩估计量X2是的无偏估计。10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。证明：niiniiXEnXnEE1111ˆdxexndxexnxnixni1012121211故的最大似然估计niiXn11ˆ是的无偏估计。11.设321,,XXX为总体2,~X的样本，证明32123211525152ˆ213161ˆXXXXXX都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。证明3211213161ˆXXXEEXEXEXEXEXE2131612