一次函数讲义

内容基本要求略高要求较高要求函数及其图象了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πSR中，是常数，是一个常量，而S随R的变化而变化，所以S、R是变量．2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．注意：⑴对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数．例如2yx就不是函数，因为当4x时，2y，即y有两个值与x对应．⑵对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)yx中，2x时，1y；4x时，1y．二、函数自变量的取值范围中考要求知识点睛函数及其图象函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30St，2SR．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4yx就是一个函数关系式．⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：24yx中x是自变量，y是x的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31yx是表示y是x的函数，若写成13yx就表示x是y的函数．求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．三、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．2．函数图象的画法⑴列表；⑵描点；⑶连线．3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点,Pxy中的x，y都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、函数的相关概念【例1】分别指出下列关系式中的变量与常量：球的表面积2cmS（）与球半径(cm)R的关系式是24SR；设圆柱的底面半径()Rm不变，圆柱的体积3()Vm与圆柱的高()hm的关系式是2VRh．【例2】通过阅读理解函数和变量的概念，判断下列变量y是否是x的函数：⑴x表示小猪，y表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）；⑵x表示“喜羊羊”，y表示“喜羊羊”的好朋友．【例3】判断下列式子中y是否是x的函数．⑴22(35)yx⑵315yx⑶12yx⑷8yx【例4】判断下列式子中y是否是x的函数．⑴22(21)yx⑵3yx⑶2yx⑷3yx【例5】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）．DCBAyxOyxOyxOyxO例题精讲【例6】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（）ABCD二、实际问题中的函数及其图象【例7】打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）ABCD【例8】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）ABCDOxyOxyOxyyxOOxyOxyOxyyxOOxyOxyOxyyxO【例9】如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（）【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）ABCD【例11】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离．．为S，则S关于t的函数图象大致为（）AxOyyOxByOxCyOxDtsOtsOOsttsO三、函数自变量的取值范围【例12】函数21yx中自变量x的取值范围是（）A．12x≥B．12x≥C．12x≤-D．12x≤【例13】函数25yx自变量的取值范围是．【例14】函数52xyx自变量的取值范围是．【例15】函数11yx的自变量x的取值范围是．【例16】在函数121yx中，自变量x的取值范围是．【例17】函数3231yxx的自变量x的取值范围是．【例18】函数223xyx的自变量x的取值范围是．【例19】函数72yx的自变量x的取值范围是．【例20】函数2373yxx的自变量x的取值范围是．【例21】函数243xyx的自变量x的取值范围是．BAOA．B．C．D．StStStStOOOO【例22】函数211yx的自变量x的取值范围是．【例23】函数211xyx的自变量x的取值范围是．【例24】函数2113yx的自变量x的取值范围是．【例25】函数214yx的自变量x的取值范围是．【例26】函数341xyx的自变量x的取值范围是．【例27】函数1xyx的自变量x的取值范围是．【例28】根据你的理解写出下列y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围（我们称为定义域）．⑴某人骑车以6/ms是速度匀速运动的路程y与时间x，解析式：，定义域：；⑵正方形的面积y与边长x，解析式：，定义域：；⑶等腰三角形的底角的度数y与顶角的度数x，解析式：，定义域：；【例29】写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．⑴直角三角形中一锐角的度数y与另一锐角的度数x之间的函数关系．⑵如果水的流速量是am/min（一个定量），那么每分钟的进水量Q（3m）与所选择的水管直径D（m）之间的函数关系．⑶某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后,则利息（y元）与所存月数x之间函数关系．【例30】写出等腰三角形中一底角的度数y与顶角的度数x之间的函数关系．【例31】等腰ABC周长为10cm，底边BC长为cmy，腰长为cmx．⑴写出y关于x的函数关系式；⑵求x的取值范围；⑶求y的取值范围．【例32】等腰三角形的周长为60，写出它的底边长y与腰长x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围？【例33】等腰三角形的周长为20，写出它的底边长y与腰长x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围．【例34】小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y与从现在开始的月份数x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、一次函数的概念一般地，形如ykxb（k，b是常数，0k）的函数，叫做一次函数，当0b时，中考要求知识点睛一次函数的图象及性质即ykx，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b，0k时，ykx仍是一次函数．⑶当0b，0k时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数ykxb（0k，k，b为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取00，，1k，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b），通常取0b，，0bk，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式ykxb的点xy，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标xy，满足ykxb，也就是说，直线l与ykxb是一一对应的，所以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l：ykxb，有时直接称为直线ykxb．三、一次函数的性质一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小1．一次函数图象的位置在一次函数ykxb中：⑴当0k时，其图象一定经过一、三象限；当0k时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数ykxb的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．2．一次函数图象的增减性OxyyxOOxyyxOOxyyxO在一次函数ykxb中：⑴当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；⑵当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．四、含绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．我们知道，函数yxa，当xa时，y取最小值0．函数1212()yxaxaaa，若2xa，则121221()()2()yxaxaxaaaa；若1xa，则121221()()()2yaxaxaaxaa；当12axa时，y取最小值1221()()yxaaxaa．一、一次函数的概念【例1】已知函数1(2)kykx（k为常数）是正比例函数，则k．【例2】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15xy⑵5xy⑶21yx⑷35xy⑸21