考点11函数与方程教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点11函数与方程1、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2017，且x1＋x2＋…＋x2017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】A【解析】因为函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2017关于原点对称，且其中一个为0，所以x1＋x2＋…＋x2017＝m＝0.则关于x的方程为2x＋x－2＝0，令h(x)＝2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h(0)＝20＋0－2＝－10，h(1)＝21＋1－2＝10，所以关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(0,1)．2、若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1【答案】C【解析】由已知可得f(x0)=-,则·f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.3、.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数,即为函数y=-2x的图像和函数y=log2|x|的图像的交点个数.如图所示,交点个数为2.故选C.4、设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】由f(x)＝13x－lnx(x0)得f′(x)＝x－33x，令f′(x)0得x3，令f′(x)0得0x3，令f′(x)＝0得x＝3，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln30，又f(1)2＝130，f(e)＝e3－10，f1e＝13e＋10，所以f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是.【答案】[-1,2)【解析】直线y=x与射线y=2(xm)有一个交点A(2,2),且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C.由解得B(-1,-1),C(-2,-2).∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在射线y=2(xm)上,才能使y=f(x)图像与y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m2.6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】作出函数y=2016x和y=-log2016x的图像如图所示,可知函数f(x)=2016x+log2016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.1x12,x1+x22B.1x12,x1+x21C.x11,x1+x22D.x11,x1+x21【答案】A【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图像有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图像(如下),可知1x12.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图像只有一个交点,当y=-b2时,由图可知x1+x22.8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2＋0)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是()3A.(-∞,-2)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)【答案】D【解析】∵函数f(x)=ax3-3x2+1在R上存在三个零点,∴f(x)的极大值与极小值异号,很明显a≠0,由题意可得:f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),则由f'(x)=0可得x1=0,x2=,由题意得不等式:f(x1)f(x2)=-+10,即:1,a24,-2a2.综上,可得a的取值范围是(-2,0)∪(0,2).10、已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则x3(x1+x2)+的取值范围是()A.(-1,+∞)B.(-1,1]C.(-∞,1)D.[-1,1)【答案】B【解析】作出函数f(x)=的图像如下,由图可知,x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,即x3·x4=1,当x=0时,f(0)=1,当-log2x3=1时,x3=.故方程f(x)=a有四个不同的解时,对应的x3∈,又x3(x1+x2)+=-2x3+,其在x3∈上是减少的,∴-2+1-2x3+≤-1+2,即-1-2x3+≤1.∴x3(x1+x2)+∈(-1,1].故选B.11、已知函数f(x)＝3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a＝()A．－13B．－12C．－3D．－2【答案】C【解析】根据函数解析式可知，直线x＝1是y＝3e|x－1|和y＝2x－1＋21－x图象的对称轴，故直线x＝1是函数f(x)图象的对称轴．若函数f(x)有唯一零点，则零点必为1，即f(1)＝3－2a－a2＝0，又a0，所以a＝－3.故选C.12、设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为()4A.(0,1]B.(0,1)C.[1,+∞)D.(-∞,1)【答案】A【解析】关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0的解为f(x)=0或f(x)=a,而函数f(x)的图像如图所示,由图像可知,方程f(x)=0只有一解x=1,而原方程有三解,所以方程f(x)=a有两个不为1的相异的解,即0a≤1.13、已知函数f(x)是奇函数且是R上的单调函数．若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.14B．18C．－78D．－38【答案】C【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.14、定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log12（x＋1），x∈[0，1），1－|x－3|，x∈[1，＋∞），则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为()A．2a－1B．2－a－1C．1－2－aD．1－2a【答案】D【解析】.当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；x≤－1⇒－x≥1.又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－log12（－x＋1），x∈（－1，0），－1＋|x＋3|，x∈（－∞，－1]，画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x22＝－3，x4＋x52＝3，而－log12(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D.15、已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0，1]∪[23，＋∞)B．(0，1]∪[3，＋∞)5C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－1m2与g(x)＝x＋m的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．(2)当m＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B.16、已知函数f(x)＝lnx，x≥1，1－x2，x＜1，若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是()A．[4－2ln2，＋∞)B．(e，＋∞)C．(－∞，4－2ln2]D．(－∞，e)【答案】D【解析】因为函数f(x)＝lnx，x≥1，1－x2，x＜1，所以F(x)＝ln（lnx＋1）＋m，x≥1，ln2－x2＋m，x＜1，由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－ln2－x2＜－ln32，∴m＜ln23.设t＝e－m，则t＞32，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t＞32，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间32，＋∞上是减函数，所以g(t)＜g32＝e，故选D.17、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.【答案】(0,1)【解析】因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图像与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图像,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).618、已知a＞0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x＞0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(4，8)【解析】当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝－x2－ax，x≤0，－x2＋ax，x＞0.作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－a24＋a22＝a24，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜a24＜2a，得4＜a＜8.19、已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．【答案】(2,5)【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f(1)·f(2)0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)0⇒(2－m)(5－m)0，解得2m5，所以实数m的取值范围是(2,5)．20、已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】12，34【解析】(1)“对于任意的a∈R