考点13变化率与导数导数的运算教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点13变化率与导数、导数的运算1、已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是()A.12B．1C．32D．2【答案】D【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1,f′(1)＝12.∴f(1)＋2f′(1)＝2.故选D.2、曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0【答案】C【解析】y′＝cosx＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.3、.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1,所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4、已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝12f(x)，则tan2x的值是()A．－23B．－43C．43D．34【答案】D【解析】因为f′(x)＝cosx＋sinx＝12sinx－12cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝－61－9＝34.故选D.25、过函数f(x)＝13x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为()A.0，3π4B．0，π2∪3π4，πC.3π4，πD．π2，3π4【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tanα≥－1，解得0≤απ2或3π4≤απ，即切线倾斜角的范围为0，π2∪3π4，π.故选B.6、已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3【答案】B【解析】因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).又f'(x)为偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.所以f'(0)=-3.故所求的切线方程为y=-3x.7、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e【答案】B【解析】由题可得f′(x)＝2f′(1)＋1x，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选B.8、已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′π4＝24，则实数a的值为()A.23B．12C．34D．1【答案】B【解析】由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，则由f′π4＝24可得22－22a＝24，解得a＝12.故选B.9、已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=03C.x+y+1=0D.x-y+1=0【答案】B【解析】设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像相切于点(x0,y0),则解得∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.10、已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．3，72C.－∞，72D．(0,3)【答案】B【解析】由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，令t＝ex(t0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)0且Δ0，即a－30且4－8(a－3)0，解得3a72.故选B.11、已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，则有f″(x0)＝0.若函数f(x)＝x3－3x2，则f12017＋f22017＋f32017＋…＋f40322017＋f40332017＝()A．－8066B．－4033C．8066D．4033【答案】A【解析】由f(x)＝x3－3x2得f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，又f″(x0)＝0，所以x0＝1且f(1)＝－2，即函数f(x)的对称中心为(1，－2)，即f(x)＋f(2－x)＝－4.令S＝f12017＋f22017＋f32017＋…＋f40322017＋f40332017，则S＝f40332017＋f40322017＋…＋f32017＋f22017＋f12017，所以2S＝4033×(－4)＝－16132，S＝－8066.12、已知函数f(x)＝lnx＋tanαα∈π2的导函数为f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x01，则α的取值范围为()A.0，π4B．π4，π2C.π6，π4D．0，π3【答案】B【解析】∵f′(x)＝1x，∴f′(x0)＝1x0，由f′(x0)＝f(x0)，得1x0＝lnx0＋tanα，∴tanα＝1x0－lnx0.又0x01，∴1x0－lnx01，即tanα1，又α∈0，π2，∴α∈π4，π2.故选B.413、已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.【答案】e【解析】∵f(x)=exlnx,∴f'(x)=exlnx+.∴f'(1)=eln1+=e.14、已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－1a·ex图象的切线，则实数a＝________.【答案】e2【解析】设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1a·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－1a·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.15、已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=.【答案】-8【解析】∵f'(x)=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f(1)=1+a+b=b,∴在点(1,f(1))处的切线方程为y-b=2(x-1),∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.16、已知f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′π2＝________.【答案】－3π【解析】f′(x)＝－sinx·x－cosxx2，当x＝π2时，f′π2＝－2π，又f(π)＝－1π，所以f(π)＋f′π2＝－3π.17、函数f(x)=xex的图像在点(1,f(1))处的切线方程是.【答案】y=2ex-e【解析】∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.18、已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】－12，＋∞【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′＝2ax＋3－1x＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a＜0.综上，a≥－12.19、若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.【答案】[2,+∞)5【解析】∵f(x)=x2-ax+lnx,∴f'(x)=x-a+.∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2(x0).20、直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.【答案】-3【解析】设f(x)=(ax+1)ex,∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.21、已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【答案】(1)2x－y－2＝0(2)(－1,0)【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)0即可，可得b∈(－1,0)．