考点17同角三角函数的基本关系式与诱导公式教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点17同角三角函数的基本关系式与诱导公式1、已知cosα＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A．－1－k2B．1－k2C．±1－k2D．－k【答案】A【解析】由cosα＝k，α∈π2，π得sinα＝1－k2，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－1－k2.故选A.2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A．－15B．3715C.3720D．1315【答案】D【解析】.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sinα＝－45，cosα＝35，∴sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.故选D.3、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝()A．－π6B．－π3C．π6D．π3【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4、已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tanx的值为()A.34B．－34C.43D．－43【答案】B【解析】因为x∈－π2，0，所以sinx＝－1－cos2x＝－35，所以tanx＝sinxcosx＝－34.故选B.5、已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α＝()2A.223B．－223C．13D．－13【答案】D【解析】∵cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.6、若sinπ2＋θ0，cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】∵sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以θ是第二象限角，故选B.7、已知角α(0°≤α360°)终边上一点的坐标为(sin150°，cos150°)，则α＝()A．150°B．135°C．300°D．60°【答案】C【解析】因为sin150°＝120，cos150°＝－320，所以角α终边上一点的坐标为12，－32，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－32，又0°≤α360°，所以角α的值是300°，故选C.8、已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C．15D．35【答案】B【解析】sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.9、知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝()A.12B．2C.35D．－38【答案】C【解析】.由f′(x)＝2x2，得tanα＝f′(1)＝2，所以sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α－12tanα＋1＝35.故选C.310、若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D．12【答案】B【解析】tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝112＝2.11、已知sinα－π3＝13，则cosα＋π6的值是()A．－13B．13C.223D．－223【答案】A【解析】.∵sinα－π3＝13，∴cosα＋π6＝cosπ2＋α－π3＝－sinα－π3＝－13，故选A.12、已知2tanαsinα＝3，－π2α0，则sinα＝()A.32B．－32C．12D．－12【答案】B【解析】由2tanαsinα＝3，得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0.又－π2α0，解得cosα＝12(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－32.13、若1＋cosαsinα＝2，则cosα－3sinα＝()A．－3B．3C．－95D．95【答案】C【解析】∵1＋cosαsinα＝2，∴cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(2sinα－1)2＝1，5sin2α－4sinα4＝0，解得sinα＝45或sinα＝0(舍去)，∴cosα－3sinα＝－sinα－1＝－95.故选C.14、已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C．13D．－13【答案】B【解析】∵sinθ＋cosθ＝43，∴(sinθ＋cosθ)2＝169，∴sin2θ＝79.又θ∈0，π4，∴sinθ＜cosθ，sinθ－cosθ＝－θ－cosθ2＝－1－sin2θ＝－1－79＝－23.15、已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是()A．若α，β是第一象限的角，则cosαcosβB．若α，β是第二象限的角，则tanαtanβC．若α，β是第三象限的角，则cosαcosβD．若α，β是第四象限的角，则tanαtanβ【答案】D【解析】作出α，β的图象如图，由三角函数线可知选D.16、已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.355B．377C．31010D．13【答案】C【解析】由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝31010.17、已知cos5π12＋α＝13且－πα－π2，则cosπ12－α＝()A.223B．135C．－13D．－223【答案】D【解析】因为－πα－π2，所以－7π125π12＋α－π12，故cosπ12－α＝cosπ2－5π12＋α＝sin5π12＋α＝－1－132＝－223.18、已知在锐角△ABC中，角α＋π6的终边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cosα＋π6＝33，则cos2α的值为()A.3－26B．－23－16C.12－36D．－63－16【答案】D【解析】∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞π2⇒π2＞B＞π2－A＞0⇒sinB＞sinπ2－A＝cosA，即sinB－cosA＞0，同理，cosB－sinA＜0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sinα＋π6＝－63，∴cosα＝cosα＋π6－π6＝cosα＋π6cosπ6＋sinα＋π6sinπ6＝12－66，∴cos2α＝2cos2α－1＝－63－16，故选D.19、已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，3m)，则sin2α＝________．【答案】32【解析】由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝14.由任意角三角函数定义知cosα＝m，sinα＝3m，由此sin2α＝2sinαcosα＝23m2＝32.20、现有如下命题：①若点P(a，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且仅有一个；③设tanα＝12且π＜α＜3π2，则sinα＝－55；6④设cos(sinθ)·tan(cosθ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限．则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上)【答案】③【解析】①中，当α在第三象限时，sinα＝－255，故①错误；②中，同时满足sinα＝12，cosα＝32的角为α＝2kπ＋π6(k∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.21、已知sinx＋3cosx3cosx－sinx＝5，则sinxcosx＋cos2x＝________．【答案】35．【解析】由已知，得tanx＋33－tanx＝5，解得tanx＝2，所以sinxcosx＋cos2x＝sinxcosx＋cos2xsin2x＋cos2x＝tanx＋1tan2x＋1＝2＋122＋1＝35.22、已知在△ABC中，tanA＝－512，则cosA＝________.【答案】－1213【解析】∵在△ABC中，tanA＝－512，∴A为钝角，cosA＜0.由sinAcosA＝－512，sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－1213.23、若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________．【答案】1－5【解析】由题意知：sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5.24、若sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinαcosα的值等于________．【答案】－25【解析】由sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，所以sinαcosα＝tanα1＋tan2α＝－25.25、已知cosα1＋sinα＝3，则cosαsinα－1的值为()A.33B．－337C.3D．－3【答案】B【解析】因为cosα1＋sinα＝3，所以cosαsinα＋1＝1－sinαcosα，所以cosαsinα－1＝－33.故选B.26、已知tan(θ－π)＝2，求sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3的值．【答案】195【解】由tan(θ－π)＝2得tanθ＝2，所以sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＋3＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＋3＝195.27、如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，OP→的坐标为________．【答案】(2－sin2，1－cos2)【解析】如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA︵＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－π2，所以|PB|＝sin2－π2＝－cos2，|CB|＝cos2－π2＝sin2，所以xP＝2－|CB|＝2－sin2，yP＝1＋|PB|＝1－cos2，所以OP→＝(2－sin2，1－cos2)．28、已知f(α)＝－αcos2π－αtan－α＋3π2tanπ2＋α－π－α.8(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值．【答案】(1)－cosα(2)265【解析】(1)f(α)＝sinα·cosα·tan－α＋3π2－2πtanπ2＋α·sinα＝sinα·cosα·－tanπ2＋αtanπ2＋α·sinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265.故f(α)＝265.