考点18三角函数的图像与性质教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点18三角函数的图像与性质1、下列函数中，存在最小正周期的是()A．y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x2＋1)0【答案】B【解析】A：y＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x＜0，不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝tanx，x≥0，－tanx，x＜0，不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．故选B.2、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2，π上为减函数的是()A．y＝sin2xB．y＝2|cosx|C．y＝cosx2D．y＝tan(－x)【答案】D【解析】A选项，函数在π2，3π4上单调递减，在3π4，π上单调递增，故排除A；B选项，函数在π2，π上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.3、已知函数y＝2cosx的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是()A．2B．3C．3＋2D．2－3【答案】B【解析】因为函数y＝2cosx的定义域为π3，π，所以函数y＝2cosx的值域为[－2,1]，所以b－a＝1－(－2)＝3.故选B.4、函数y＝－2cos2π4＋x＋1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的非奇非偶函数【答案】A【解析】.因为y＝－2cos2π4＋x＋12＝－1＋cosπ2＋2x＋1＝sin2x.y＝sin2x是最小正周期为π的奇函数．故选A.5、函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)【答案】B【解析】由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)得，kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．6、若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，则|φ|的最小值为()A.π6B．π4C.π3D．π2【答案】A【解析】由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为π6.7、若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈0，π2，则x0＝()A.5π12B．π4C．π3D．π6【答案】A【解析】由题意得T2＝π2，∴T＝π，ω＝2.又2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，∴x0＝kπ2－π12(k∈Z)，而x0∈0，π2，∴x0＝5π12.8、已知函数f(x)＝sinx＋3cosx，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()3A．abcB．cabC．bacD．bca【答案】B【解析】f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因为函数f(x)在0，π6上单调递增，所以fπ7fπ6，而c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3＝f(0)fπ7，所以c＜a＜b.9、已知函数f(x)＝sin(2x－π2)(x∈R)，下列结论错误的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)在区间0，π2上是增函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称【答案】D【解析】f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确；函数图象的对称轴方程为x＝kπ2(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠π4，所以D错误．故选D.10、函数y＝sinx2的图象是()【答案】D【解析】.因为y＝sinx2为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x2＝π2，即x＝±π2时，ymax＝1，排除B选项．11、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为()A．0B．π6C．π4D．π3【答案】B4【解析】据已知可得f(x)＝2sinx＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，又由于θ∈－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．故选B.12、设ω0，m0，若函数f(x)＝msinωx2cosωx2在区间－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是()A.0，23B．0，32C.32，＋∞D．[1，＋∞)【答案】B【解析】.f(x)＝msinωx2cosωx2＝12msinωx，若函数在区间－π3，π3上单调递增，则T2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈0，32.13、将函数y＝sin2x－π6的图象向左平移π4个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是()A．x＝π12B．x＝π6C．x＝π3D．x＝－π12【答案】A【解析】由题意知平移后的函数解析式为y＝sin2x＋π4－π6＝sin2x＋π3.令2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋π12(k∈Z)．结合选项知，选A.14、已知函数f(x)＝cos2x＋π3－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为5π12，0；④函数f(x)的递增区间为kx＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.则正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由已知得，f(x)＝cos2x＋π3－cos2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3－cos2x＝－sin2x＋π6，不是奇函数，故①错误；当x＝2π3时f2π3＝－sin4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时f5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.515、已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为()A.12B．2C.π2D．π2【答案】D【解析】因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，所以ω2＝π4＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.16、已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a.若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是()A.0，π3B．π3，π2C．π2，2π3D．π3，π【答案】D【解析】若－π3≤x≤a，则－π6≤x＋π6≤a＋π6，∵当x＋π6＝－π6或x＋π6＝7π6时，sinx＋π6＝－12，∴要使f(x)的值域是－12，1，则有π2≤a＋π6≤7π6，π3≤a≤π，即a的取值范围是π3，π.17、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1ω0，|φ|π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f(x)的图象关于点π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间是()A.－π2＋2kπ，π＋2kπ，k∈ZB.－π2＋3kπ，π＋3kπ，k∈ZC.π＋2kπ，5π2＋2kπ，k∈ZD.π＋3kπ，5π2＋3kπ，k∈Z【答案】B【解析】由题意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×3π4＝3π，则2πω＝3π，ω＝23，6因为f(x)的图象关于点π4，1对称，所以2sin23×π4＋φ＋1＝1，即sinπ6＋φ＝0.因为|φ|π2，所以φ＝－π6，则f(x)＝2sin23x－π6＋1.令2kπ－π2≤23x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得3kπ－π2≤x≤3kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[－π2＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z，选B.18、设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)．若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．【答案】23【解析】∵f(x)≤fπ4对任意x∈R恒成立，∴fπ4为f(x)的最大值，∴fπ4＝cosπ4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2kπ，解得ω＝8k＋23，k∈Z，又∵ω0，∴当k＝0时，ω的最小值为23.19、已知ω＞0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．【答案】π2【解析】由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝2－(－2)＝22，|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝22sinωx－π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝2π2ω2＋(22)2，ω＝π2.20、已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期是π，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________．【答案】x＝kπ2＋π8(k∈Z)【解析】由T＝π＝2πω⇒ω＝2，∴f(x)＝sin2x＋π4，则对称轴为2x＋π4＝kπ＋π2⇒x＝kπ2＋π8(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝kπ2＋π8(k∈Z)．21、已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．7(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．【答案】(1)2(2)π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)【解析】(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．22、已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2－x·cos(x－π3)－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．【答案】(1)π(2)当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减【解析】(1)f(x)的定义域为x|x≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2